Los espacios fibrosos de Seifert con límite son $\mathbb{P}^2$ -irreducible

Question

Estoy leyendo el libro de Peter Scott _La Geometría de los 3-Manifolds_ y estoy tratando de entender el argumento que hay detrás de esta afirmación, que surge en la prueba del Corolario 3.3:

Si $M$ es un 3manifold fibrado de Seifert con límite, entonces $M$ es $\mathbb{P}^2$ -irreducible.

Entiendo por qué $M$ es irreducible El interior de la cubierta universal es $\mathbb{R}^3$ (a diferencia de $S^3$ o $S^2 \times \mathbb{R}$ ), por lo que cualquier esfera en $M$ ascensores a $\mathbb{R}^3$ en el que se ataca a una pelota. Pero, ¿por qué son de 2 caras $\mathbb{P}^2$ ¿Está prohibido?

Y si hay mejores hipótesis para la afirmación que he presentado, por favor compártelas.

Answer 1

He aquí un argumento que no implica espacios de cobertura y que ilustra algunos hechos importantes sobre los espacios fibrosos de Seifert. Básicamente estoy siguiendo el argumento de Hatcher "Notas sobre la topología básica de los 3manifoldes" , las proposiciones 1.11 y 1.12, pero he vuelto a consolidar mi entendimiento. (Ver el historial de ediciones para uno que sigue a Hatcher más de cerca).

Dejemos que $M$ sea un espacio fibrado de Seifert compacto y conectado, y sea $S$ sea una superficie cerrada e incompresible. Resulta que $S$ es isotópico a una superficie que es vertical (una unión de fibras regulares) o horizontal (transversal a todas las fibras), que veremos. Lo primero que haremos es describir un subcomplejo 2D vertical $A\subset M$ tal que el complemento de una vecindad tubular de $A$ es una unión disjunta de toros sólidos verticales. Colapsando cada fibra de $M$ da lugar a un orbifold 2D $B$ llamado espacio orbital, que es topológicamente un 2manifold compacto conectado, y las fibras excepcionales corresponden a puntos de ramificación del orbifold. Elija un 1-complejo incrustado $\Gamma\subset B$ tal que (1) todo punto de ramificación es un vértice, (2) hay al menos un vértice y al menos una arista, y (3) el complemento de una vecindad regular de $\Gamma$ en $B$ es una unión disjunta de discos. Ahora, dejemos que $A$ sea la preimagen de $\Gamma$ , dejemos que $V$ sea la preimagen de los vértices de $\Gamma$ y que $A'=A-V$ , que es una unión disjunta de anillos abiertos.

Perturbar $S$ para que esté en posición general con respecto a $A$ . Si $S$ se cruza con $A'$ en un bucle que limita un disco, entonces toma el más interno de ellos y utiliza la incompresibilidad de $S$ y la irreductibilidad de $M$ para construir una isotopía que elimine este bucle de intersección. Después de un número finito de estos movimientos y otra isotopía, $S$ se encuentra con $A'$ sólo en arcos y bucles verticales. Si alguno de estos arcos limita una luna (esto sucede cuando ambos puntos extremos del arco se encuentran con la misma componente de $V$ ), entonces toma el más interno de los tales. Como $S$ no cumple $\partial M$ podemos empujar $S$ a lo largo de esta lune a través de $V$ reduciendo el número de puntos de intersección entre $S$ y $V$ por dos. Por lo tanto, después de un número finito de tales movimientos, $S\cap A'$ consiste en bucles verticales y arcos horizontales.

Supongamos que existe un disco compresor $D\subset M-A$ para $S-A$ que no vincula un disco en $S-A$ . Sea $D'\subset S$ sea un disco con $\partial D'=\partial D$ . Desde $M$ es irreducible, $D\cup D'$ limita una bola por lo que hay una isotopía que lleva $D'$ a $D$ . Porque $D'$ intercalado $V$ la nueva superficie tiene menos intersecciones con $V$ por lo que después de un número finito de movimientos de este tipo podemos suponer $S-A$ es incompresible en $M-A$ . Cada componente de $M-A$ es un toro sólido abierto, y las superficies incompresibles en toros sólidos son isotópicas a las uniones disjuntas de ánulos verticales y discos horizontales, por lo que después de una isotopía la superficie es una colección de ánulos verticales o discos horizontales dentro de cada componente de $M-A$ . Dado que la superficie de la base $B$ está conectada, tener anillos verticales y tener discos horizontales son mutuamente excluyentes. En el primer caso $S$ es una superficie vertical, y en la segunda $S$ es horizontal. Esto completa el argumento

Eso fue asumiendo $M$ era irreducible. Supongamos que $M$ es un espacio compacto conexo con fibras de Seifert y con límite no vacío, y supongamos, por si acaso, que $S\subset M$ es una esfera incrustada que no limita una bola. Sigue los pasos del argumento anterior, pero con tres cambios. En primer lugar, al eliminar los bucles de $S\cap A'$ que vinculan los discos, en su lugar utilizan el disco para comprimir $S$ , dando lugar a dos esferas; sustituir $S$ por el que no ata un balón. En segundo lugar, suponemos $S-A$ no es esfera, ya que si lo fuera ligaría una bola en el toroide sólido que encuentra de $M-A$ y por lo tanto en $M$ . En tercer lugar, si $S-A$ no es incompresible en $M-A$ y, a continuación, comprimiendo $S$ con el disco compresor da lugar a dos esferas, al menos una de las cuales no limita una bola en $M$ ; reemplazar $S$ con esta esfera. Por lo tanto, terminamos con una esfera $S$ que no vincula una bola isotópica a una superficie vertical u horizontal. No puede ser vertical ya que $2$ -las esferas no son $S^1$ paquetes, por lo que es horizontal, pero $M$ tiene un límite no vacío y $S$ no lo hace.

Si todo esto es así, si $M$ es un espacio fibrado compacto conectado de Seifert con frontera no vacía, entonces es irreducible. Por lo tanto, si $M$ tenía dos caras $\mathbb{P}^2$ que es incompresible ya que es $H_1$ -injetivo, es isotópico a una superficie vertical u horizontal. No puede ser vertical ya que $\mathbb{P}^2$ no es un $S^1$ pero no puede ser horizontal ya que no tiene límite sino $M$ lo hace. Por lo tanto, $M$ es $\mathbb{P}^2$ -irreducible.