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Usos innecesarios de la hipótesis de continuidad

Esta pregunta fue inspirada por la pregunta MathOverflow "Usos innecesarios del axioma de elección". Quiero saber de declaraciones en ZFC que pueden ser probadas asumiendo la Hipótesis del Continuum, pero también pueden ser probadas por una prueba más elaborada (tal vez incluso significativamente más elaborada) sin asumir la Hipótesis del Continuum.

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