Dejemos que $U$ et $W$ sean subespacios de un espacio de producto interno $V$ . Si $U$ es un subespacio de $W$ entonces $W^{\bot}$ es un subespacio de $U^{\bot}$ ?.
No me parece que la afirmación anterior sea intuitivamente obvia. ¿Podría alguien aportar una prueba?
Si eres ortogonal a todo en un conjunto, entonces también eres ortogonal a todo en cada subconjunto de ese conjunto.
Dicho de otro modo: Los elementos de $W^\perp$ tienen que ser ortogonales a más vectores que elementos de $U^\perp$ tienen que ser ortogonales a los vectores en $U$ y los vectores en $W\setminus U$ (si lo hay). Por lo tanto hay menos que si tomamos los vectores que sólo tienen que satisfacer la propiedad de ser ortogonales a los vectores en $U$ . (Más restricciones $\implies$ Menos vectores que satisfagan las restricciones).
Debería ser intuitivo, ya en el nivel de la lógica:
Para estar en $W^\perp$ , tienes que satisfacer una determinada condición $P(w)$ (a saber: "ser ortogonal a $w$ ') para todos y cada uno de los elementos $w\in W$ .
Así que dado un subconjunto $U\subseteq W$ , para estar en $U^\perp$ significa que tiene que satisfacer $P(w)$ simplemente para todos $u\in U$ .
Por lo tanto, tiene que satisfacer menos propiedades para estar en $U^\perp$ Por lo tanto, es más fácil para estar en $U^\perp$ donc $U^\perp$ es más grande : $W^\perp\subseteq U^\perp$ .
También debería ser intuitivo desde el punto de vista geométrico: considere $\mathbb{R}^3$ , dejemos que $U$ sea el $x$ -eje, y $W$ el $x,y$ - avión. Entonces $U^\perp$ es el $y,z$ -plano, y $W^\perp$ es el $z$ -eje.
/Edición: Fui lento y me perdí la edición de Joans Meyer, lo que hace que mi respuesta sea redundante.
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