Problema de recuento: Un grupo de 30 personas está formado por 15 mujeres y 15 hombres, ¿Cuántas formas de:

Question

Hola estoy teniendo muchos problemas para tratar de hacer ejercicio:

Un grupo de 30 personas se compone de 15 mujeres y 15 hombres, ¿Cuántas formas de:

1. ¿formar 10 parejas del grupo?

2. ¿dividir el grupo en dos grupos (grupo 1 y grupo 2) de igual tamaño?

3. ¿dividir el grupo en 2 grupos iguales, en los que cada grupo tenga tantos hombres como mujeres?

4. ¿dividir los grupos en dos grupos de igual tamaño de manera que el grupo 1 contenga al menos 4 hombres?

5. Dividir el grupo en dos grupos, cada uno de ellos con un tamaño mínimo de un?

Mis respuestas: decir $p_1, p_2,...,p_{30} \in$ grupo de 30 personas

1)No estoy nada seguro de esto, pero sé que no es ${30\choose 2}*{28\choose 2}*…*{10\choose 2}$ ya que habrá una doble contabilidad.

2) ${30 \choose 15}$

Razonamiento: Formar grupos de tamaño 15. Así, si el grupo1 es $p_1,p_2,...,p_{15}$ entonces el grupo2 sería $p_{16},p_{17},...,p_{30}$ . De esta manera se divide efectivamente el grupo en 2 grupos de igual tamaño. Creo que cada grupo NO es arbitrario así que si otro caso: si el grupo1 es $p_{16},p_{17},...,p_{30}$ entonces el grupo2 sería $p_1,p_2,...,p_{15}$ esto es lo que queremos y no la doble contabilidad. ¿Es esto lo que piden?

3)No estoy muy seguro de esto, ya que podemos hacer 15 paquetes de 1 hombre y 1 mujer, pero 15/2 no tiene sentido aquí, así que supongo que lo mejor que podemos hacer es tener 2 grupos con 7 hombres y 7 mujeres: ${15 \choose 7} * {15\choose 7}$ pero esto no divide del todo al grupo.

Razonamiento: elige 7 hombres de 15 y 7 mujeres de 15. $m_1,m_2,...,m_7,w_1,w_2,...,w_7$ . ¿Son los grupos arbitrarios? y así se responde: ${15 \choose 7} * {15\choose 7}/2$

4) ${30\choose 15} - {18\choose 15}$

Razonamiento: obtener todas las formas de dividir el grupo por la mitad, y luego eliminar todos los casos en los que no haya al menos 4 hombres en el grupo

5) si se trata de grupos arbitrarios: ${30\choose 1}+{30\choose 2}+...+{30\choose 15}$ si no son grupos arbitrarios: ${30\choose 1}+{30\choose 2}+...+{30\choose 29}$

Razonamiento: sumar el número de formas de formar un grupo de tamaño 1, al número de formas de formar un grupo de tamaño 2, a.... Sólo hago a ${30\choose 15}$ si están pidiendo grupos arbitrarios o habría doble contabilidad,

Esta es toda la información que dan con respecto a las preguntas, y estoy tan perdido. como para la pregunta 3, lo que determina el tamaño del grupo, si quieren 15: 15, entonces no es posible.

Agradecería enormemente cualquier ayuda que puedan ofrecerme para entender cómo responder a estas preguntas

Answer 1

Un grupo de $30$ personas se compone de $15$ mujeres y $15$ hombres. ¿De cuántas maneras puede $10$ ¿se forman parejas del grupo?

$$\binom{30}{2}\binom{28}{2}\binom{26}{2}\binom{24}{2}\binom{22}{2}\binom{20}{2}\binom{18}{2}\binom{16}{2}\binom{14}{2}\binom{12}{2}$$ es el número de formas de seleccionar diez etiquetado parejas de dos personas del grupo. Como los grupos no están etiquetados, debemos dividir por el $10!$ maneras en que podríamos seleccionar los mismos diez pares de personas, así que el número de maneras $10$ pares podrían formarse a partir del grupo es $$\frac{1}{10!}\binom{30}{2}\binom{28}{2}\binom{26}{2}\binom{24}{2}\binom{22}{2}\binom{20}{2}\binom{18}{2}\binom{16}{2}\binom{14}{2}\binom{12}{2}$$

Un grupo de $30$ personas se compone de $15$ mujeres y $15$ hombres. ¿De cuántas maneras se puede dividir el grupo en dos grupos de igual tamaño?

Su respuesta $$\binom{30}{15}$$ es correcto si los grupos están etiquetados, que creo que es la intención del autor ya que la pregunta se refiere al grupo 1 y al grupo 2.

Si los grupos no estuvieran etiquetados, tendríamos que dividir por el $2!$ maneras podríamos seleccionar los mismos dos grupos de $15$ personas, por lo que habría $$\frac{1}{2!}\binom{30}{15}$$ formas de dividir el grupo de $30$ personas en dos grupos no etiquetados de $15$ personas.

Un grupo de $30$ personas se compone de $15$ mujeres y $15$ hombres. ¿De cuántas maneras se puede dividir el grupo en dos grupos de igual tamaño, en los que cada grupo tiene el mismo número de hombres y mujeres?

Como hay un número impar de hombres y un número impar de mujeres, esto es imposible.

Un grupo de $30$ personas se compone de $15$ mujeres y $15$ hombres. ¿De cuántas maneras se puede dividir el grupo en dos grupos de igual tamaño de forma que el grupo 1 tenga al menos cuatro hombres?

El problema indica que los grupos están etiquetados, por lo que habría $\binom{30}{15}$ formas de seleccionar a los miembros del grupo 1 si no hubiera restricciones. De estas selecciones hay que restar los casos en los que hay menos de cuatro hombres en el grupo 1. Un grupo de $15$ personas con exactamente $k$ los hombres pueden ser seleccionados entre $15$ hombres y $15$ mujeres en $$\binom{15}{k}\binom{15}{15 - k}$$ formas. Por lo tanto, el número de maneras en que podríamos seleccionar un grupo con menos de cuatro hombres es $$\binom{15}{0}\binom{15}{15} + \binom{15}{1}\binom{15}{14} + \binom{15}{2}\binom{15}{13} + \binom{15}{3}\binom{15}{12}$$ Por lo tanto, el número de formas de dividir el grupo de $30$ personas en dos grupos etiquetados de $15$ personas si el grupo 1 tiene al menos cuatro hombres es $$\binom{30}{15} - \binom{15}{0}\binom{15}{15} - \binom{15}{1}\binom{15}{14} - \binom{15}{2}\binom{15}{13} - \binom{15}{3}\binom{15}{12}$$

Un grupo de $30$ personas se compone de $15$ mujeres y $15$ hombres. ¿De cuántas maneras se puede dividir el grupo en dos grupos, cada uno de los cuales tiene un tamaño mínimo de $1$ ?

Observa que los grupos no están etiquetados.

Supongamos que Amy es una de las mujeres. Para cada una de las restantes $29$ gente, tenemos dos opciones: Podemos colocar a una persona en el grupo de Amy o en el otro grupo. Eso nos da $2^{29}$ divisiones en dos grupos. Sin embargo, se nos prohíbe colocar todos $29$ de las otras personas del mismo grupo que Amy, ya que entonces el otro grupo estaría vacío. Por lo tanto, hay $2^{29} - 1$ formas de dividir los grupos en dos grupos, cada uno con un tamaño mínimo de uno.

Answer 2

Me gusta mucho el post de @N.T.Taussig. Sin embargo, por el bien del argumento, me gustaría añadir un segundo método para obtener el último respuesta.

Al leer las respuestas anteriores, entendemos que si etiquetamos los grupos, la respuesta es $$ \sum_{k=1}^{n-1} {n\choose k} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} -{n\choose n} - {n\choose 0} = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k} -2 $$ Por lo tanto, tenemos que idear una forma inteligente de sumar los coeficientes de los binomios. Esto se hace utilizando el teorema de los binomios, $ (X+Y)^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k}X^kY^{n-k} $ y eligiendo $X=1=Y$ . Esto simplifica el teorema de los binomios a $$ 2^n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} $$ Por lo tanto, la respuesta es $2^n -2$ si etiquetamos los dos grupos. Si no etiquetamos los grupos, tenemos que tener en cuenta el doble recuento. Por lo tanto, obtenemos $2^{n-1} -1$ . Este es, por supuesto, el mismo resultado que obtuvo N. T. Taussig.