Automorfismos del grupo de Prüfer

Question

Dejemos que $p$ ser un número primo. ¿Puedes darme algunos ejemplos de automorfismos de $\Bbb Z_{p^\infty}$ ¿algo más que la función de identidad? Estoy buscando una manera elemetaria de construirlas.

Se puede demostrar que cualquier homomorfismo $f:\Bbb Z_{p^n}\to \Bbb Z_{p^m}$ puede extenderse a un homomorfismo $f:\Bbb Z_{p^\infty}\to \Bbb Z_{p^\infty}$ pero la prueba utiliza el axioma de elección y no da ninguna información sobre la construcción de un homomorfismo.

Answer 1

Multiplicación por $p$ es un endomorfismo de $G = \mathbb{Z}_{p^{\infty}}$ que es localmente nilpotente en el sentido de que para todo $g \in G$ tenemos $p^n g = 0$ para algunos $n$ (posiblemente dependiendo de $g$ ). En general, dado un endomorfismo localmente nilpotente de un grupo abeliano, podemos dar sentido a una serie de potencias formal en ese endomorfismo actuando sobre el grupo abeliano ya que al aplicar dicha serie de potencias formal a cualquier $g \in G$ todos los términos, excepto los finitos, desaparecen. Explícitamente, si $a_n, n \ge 0$ es una secuencia de números enteros, entonces

$$g \mapsto \sum_{n \ge 0} a_n p^n g$$

es un endomorfismo bien definido de $G$ .

Esto significa que $G$ (y, en general, cualquier grupo abeliano todos cuyos elementos son $p$ -torsión de potencia) admite una acción natural de la $p$ -enteros de la época. Se deduce que cualquier unidad en el $p$ -da un automorfismo de $G$ : más concretamente, para cualquier secuencia $a_n, n \ge 0$ de enteros tal que $a_0 \neq 0 \bmod p$ ,

$$g \mapsto \sum_{n \ge 0} a_n p^n g$$

es un automorfismo bien definido de $G$ . De hecho, todo automorfismo tiene esta forma; una manera de ver esto es utilizar el hecho de que el $p$ -son el dual de Pontryagin de $G$ .

Aquí tenemos otro ejemplo muy familiar de un endomorfismo localmente nilpotente: el endomorfismo $\frac{d}{dx}$ actuando en $k[x]$ . De ello se deduce que podemos aplicar series de potencias arbitrarias en $\frac{d}{dx}$ en $k$ a $k[x]$ y, en particular, si $k$ tiene característica cero podemos aplicar la serie de potencias $e^{t \frac{d}{dx}}, t \in k$ que resulta ser la traducción por $t$ como era de esperar.

Esta entrada del blog está indirectamente relacionado.