Serie de Fourier de $|x|$ en $[-\pi,\pi]$ y la suma de las series

Question

Así que he estado resolviendo varios problemas sobre series de Fourier y este en concreto me ha puesto en apuros.

Dada una función $f(x) = |x|$ encontrar una serie de Fourier en $[-\pi,\pi]$ y hallar la suma de las siguientes series: $\sum_{0}^\infty{\frac{1}{(2n-1)^2}}$ .

Así que encontré con éxito una serie de Fourier de la función dada que es: $f(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{0}^{\infty}{\frac{1}{(2n+1)^2}}\pi\cos{nx}$ . No tengo problema en encontrar la suma de $\frac{1}{(2n+1)^2}$ pero cómo podría encontrar la suma de $\sum_{0}^\infty{\frac{1}{(2n-1)^2}}$ ? Busqué en Google antes de publicar esto y todo lo que pude encontrar es la identidad de Parseval, pero eso no es algo con lo que estoy familiarizado. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar la suma o al menos explicar cómo podría hacerlo con/sin identidad de Parseval?

Answer 1

$$f(x)=|x| \sim \frac{\pi}{2} - \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{\pi (2n-1)^2}\cos (2n-1) x.$$

Evaluando esto en $x=0$ :

$$\frac{\pi}{2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{\pi (2n-1)^2}$$

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$$

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=1+\frac{\pi^2}{8}$$