Ecuación diferencial ordinaria con dos respuestas diferentes

Question

Resolver $y(y^2-2x^2)dx+x(2y^2-x^2)dy=0$ y encontrar una curva particular que pase por $(1,2)$

Mi intento: 1ª Solución: Reescribir como $y(y^2dx+x2ydy)-x(x^2dy+y2xdx)=0$ $\implies xy^2d(xy^2)-x^2yd(x^2y)=0$ (multiplicando $xy$ ) $\implies (xy^2)^2-(x^2y)^2 = c\,\,\,$ O $x^2y^2(y^2-x^2) = c$ $\implies x^2y^2(y^2-x^2) = 12 $

Segunda solución: Reescribir como $\frac{dy}{dx}=\frac{2\frac yx-(\frac yx)^3}{2(\frac yx)^2-1}$ Dejemos que $y=tx\implies \frac{dy}{dx}=t+x\frac{dt}{dx}=\frac{2t-t^3}{2t^2-1}$ $\implies x\frac{dt}{dx}=\frac{3(t-t^3)}{2t^2-1}$ $\implies \int\frac{2t^2-1}{t^3-t}dt+\int\frac 3x dx=0$ $\implies \int \left(\frac 2t+\frac{1}{(t-1)}+\frac{1}{(t+1)}\right)dt+\int\frac 6x dx = 0 $ $\implies \ln|t^2(t^2-1)x^6| = ln c $ $\implies |t^2(t^2-1)x^6| = c $ $\implies |x^2y^2(y^2-x^2)| = 12 $

$\implies x^2y^2(y^2-x^2) = \pm 12 $

¡Dónde estoy haciendo mal en la segunda o en la primera solución!

Answer 1

En tu segunda solución, resuelves tu constante demasiado pronto. Es el caso que si $|x| = c$ entonces se puede concluir que $ x = c$ porque la constante arbitraria puede absorber el $\pm$ . En la primera ecuación, $c$ no cero. En el segundo, se permite que sea negativo.

Así que creo que deberías haber escrito

$$x^2y^2(y^2-x^2) = c$$

y luego se ha trabajado en lo que $c$ es.

Tendrías el mismo problema si resolvieras una ED y obtuvieras $(y+x)^2 =c$ y luego se ha calculado que $c =4$ y luego escribió $y+x = \pm 2$ cuando debería haber hecho esto:

$$(y+x)^2 = c$$

$$y+x = c$$

$$y+x = 2$$

Answer 2

Tengo $$\frac{y}{x}\left(\frac{y^2}{x^2}-2\right)-\left(2\frac{y^2}{x^2}-1\right)y'(x)=0$$ ahora dejemos $$\frac{y}{x}=u$$ y entonces obtenemos $$-u^3-u=u'x(2u^2-1)$$