Subconjunto abierto denso no trivial de $\mathbb{R}$.

Question

Recientemente encontré el siguiente ejercicio de análisis real:

Sea $A\subseteq\mathbb{R}$ abierto y denso. Demuestra que $$\mathbb{R}=\{x+y:x,y\in A\}$$

Creo que no es muy difícil de probar. ¿Pero tenemos un ejemplo no trivial de tal conjunto? Entonces mi pregunta es:

¿Podemos encontrar un ejemplo de un subconjunto $A\subset\mathbb{R}$ que sea abierto y denso, pero $A\neq \mathbb{R}$?

No conozco muchos ejemplos de subconjuntos densos de $\mathbb{R}$. Los números racionales e irracionales son densos, pero claramente no son abiertos.

Answer 1

$A = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ funciona para este propósito, y no es igual a $\mathbb{R}$. Pero aún así es bastante trivial.

Para un ejemplo menos trivial, fijemos una enumeración $\{r_n\}_{n = 0}^{\infty}$ de números racionales y un número positivo $\epsilon$. Definamos intervalos abiertos

$$\mathcal{O}_n = \left(r_n - \frac{\epsilon}{2^{n + 2}}, r_n + \frac{\epsilon}{2^{n + 2}}\right)$$

y definamos $\mathcal{O} = \bigcup_n \mathcal{O}_n$. Entonces $\mathcal{O}$ es un subconjunto abierto y denso de $\mathbb{R}$ con medida de Lebesgue que como mucho es $\epsilon$.

De hecho, podríamos (dilatando uno de nuestros intervalos) hacer que la medida de $\mathcal{O}$ sea igual a cualquier número positivo $\epsilon$ dado.

Answer 2

Un ejemplo importante no trivial es el conjunto de Cantor de tercios centrales $C$: es un subconjunto de $\Bbb R$ de cardinalidad $2^\omega=\mathfrak{c}=|\Bbb R|$, y dado que es cerrado y en ninguna parte denso en $\Bbb R$, su complemento es abierto y denso. Con un cambio bastante pequeño en la construcción se puede construir un conjunto de Cantor 'gordo' que tiene todas las propiedades de $C$ que acabo de mencionar y además tiene medida de Lebesgue positiva; su complemento es nuevamente un subconjunto abierto denso de $\Bbb R$.

Answer 3

Tome $A=\mathbb{R}-\{0\}$. Esto claramente es abierto y denso.

Answer 4

Si eliminas cualquier cantidad finita de puntos de $\mathbb{R}$ entonces el conjunto restante será abierto y denso en $\mathbb{R}$.

Considere un conjunto abierto $A \in \mathbb{R}$ que está cerrado bajo la adición. ¿Entonces qué es $A$ en $\mathbb{R}$?