Evaluar un límite que implique una función exponencial.

Question

Dejemos que $\lambda>0$ y mira:

$$\lim _{k \to \infty}\frac{\lambda \cdot (1-e^{-\lambda/2^k}-\frac{\lambda}{2^k}e^{-\lambda/2^k})}{\frac{\lambda}{2^k}}$$

Sé que es cero (viva wolfram alfa), pero realmente no veo por qué. Puede alguien ayudarme por favor.

O quizás de forma equivalente:

$$\lim _{h \to 0}\frac{1-e^{h}-he^h}{h}$$

Oh, lo siento, le faltaron dos puntos negativos para ser correcto, debería haber sido (pero ahora puedo resolver ese :) ):

$$\lim _{h \to 0}\frac{1-e^{-h}-he^{-h}}{h} $$

Answer 1

Editado para ajustarse a la pregunta .

Usa eso $$ \lim_{h\to 0}\frac{1-e^{-h}}{h}=-\lim_{h\to 0}\frac{e^{-h}-e^{-0}}{h-0}=-f'(0)=1, $$ donde $f(x)=e^{-x}$ .

Answer 2

En lugar de lambda utilicemos $\,a>0\,$ :

$$T:=\frac{a\left(1-e^{-a/2^k}-\frac{a}{2^k}e^{-a/2^k}\right)}{\frac{a}{2^k}}$$

y ahora hacer la sustitución

$$x:=\frac{a}{2^k}\,\,\,,\,,\text{ so that}\,\,\, k\to\infty\Longrightarrow x\to 0\,\,\longrightarrow$$

$$\lim_{k\to\infty} T=\lim_{x\to 0}\frac{a\left(1-e^{-x}-xe^{-x}\right)}{x}\stackrel{\text{L'Hospital}}=\lim_{x\to 0}a\left(e^{-x}-e^{-x}+xe^{-x}\right)=\lim_{x\to 0}axe^{-x}=0$$

Answer 3

$$\lim _{h \to 0}\frac{1-e^{h}-he^h}{h}=$$ (Regla de L'Hopital) $$=\lim _{h \to 0}\frac{-e^{h}-e^h-he^h}{1}=\lim_{h\to0}-2e^h-he^h=-2$$ después de haber cambiado la pregunta por

$$\lim _{h \to 0}\frac{1-e^{-h}-he^{-h}}{h}=$$ (Regla de L'Hopital) $$=\lim _{h \to 0}\frac{e^{-h}-e^{-h}+he^{-h}}{1}=\lim_{h\to0}he^{-h}=0$$