Fijación de una homotopía para respetar los límites

Question

Supongamos que $M$ y $N$ son variedades con límites no vacíos y que $f,g : M \to N$ con $f(\partial M), g(\partial M) \subseteq \partial N$ . Además, supongamos que $f \simeq g$ y que como mapas $f|_{\partial M}, g|_{\partial M} : \partial M \to \partial N$ tenemos $f|_{\partial M} \simeq g|_{\partial M}$ .

¿Es entonces cierto que $f$ puede ser homotopado a $g$ con una homotopía $H : M \times I \to M$ con $H_t(\partial M) \subseteq \partial N$ para todos $t \in I$ ? En particular, me interesa el caso de que $M$ y $N$ son cuerpos de asas.

Answer 1

No. Considera un colector $M$ con límite conectado $\partial M$ para que $\pi_1(M,\partial M)$ tiene más de un elemento. Sean f,g:I\rightarrow M los elementos distintos de $\pi_1(M,\partial M)$ . Satisfacen las hipótesis de su pregunta, pero no pueden ser homotópicas entre sí manteniendo el límite de $I$ en $\partial M$ .