Es muy cierto que la unión de un conjunto co-denso y un conjunto no denso es un conjunto co-denso

Question

Demostrar que la unión de un conjunto codenso y un conjunto no denso es un conjunto codenso. Dar un ejemplo para demostrar que la unión de dos conjuntos codensos no es necesariamente un conjunto codenso.

Nota: Un conjunto codenso $A$ en la topología $X$ denota que su conjunto complementario es denso en $X$ . Y un conjunto denso en ninguna parte $A$ en $X$ si $\overline{A}$ es codenso.

Lo que he probado: Para la segunda pregunta, encuentro un ejemplo. La línea real $R$ es todo el espacio. $Q$ denota todos los números racionales y $P=R-Q$ denota todos los números irracionales. Vemos que ambos son conjuntos codensos. Sin embargo, su unión es $R$ y, por tanto, no es un codenso. La primera pregunta sigue siendo difícil para mí.

¿Puede alguien ayudarme? Un nuevo ejemplo también es bienvenido.

Answer 1

Supongamos que $A$ es codenso y $B$ no es denso en ninguna parte. Así que $X-A$ es denso y $X - \bar{B}$ es abierta y densa. Así que $X - (A \cup B) = (X - A) \cap (X - B) \supset (X - A) \cap (X - \bar{B})$ . Para mostrar $X - (A \cup B)$ es denso, dejemos que $V$ sea un conjunto abierto cualquiera. Dado que $(X - \bar{B})$ es denso $(X - \bar{B}) \cap V$ es un conjunto abierto no vacío. Dado que $(X - A)$ es denso, existe un $z \in (X - A)$ tal que $z \in (X - \bar{B}) \cap V$ . Por lo tanto, existe un $z \in (X - A) \cap (X - \bar{B}) \subset (X - A) \cap (X - B) = (X - (A \cup B))$ tal que $z \in V$ . Desde $V$ es un conjunto abierto arbitrario de $X$ , $(X - (A \cup B))$ es denso. Así que $(A \cup B)$ es codenso.

Answer 2

Este es un punto de vista ligeramente diferente, utilizando algunos datos de un respuesta anterior mía y también la caracterización que $B \subseteq X$ no es denso en ninguna parte si para cada abierto no vacío $U \subseteq X$ hay un abierto no vacío $V \subseteq U$ tal que $V \cap B = \emptyset$ .

Para demostrar que $A \cup B$ es codenso, sólo tenemos que demostrar que $\mathrm{Int} ( A \cup B ) = \emptyset$ .

Si $U = \mathrm{Int} ( A \cup B ) \neq \emptyset$ , entonces como $B$ no es denso en ninguna parte hay un abierto no vacío $V \subseteq U$ tal que $V \cap B = \emptyset$ . Como $A$ es codenso, entonces $V \not\subseteq A$ (ya que $\mathrm{Int} (A) = \emptyset$ ), por lo que existe un $x \in V \setminus A$ . Pero entonces $x \in U \setminus ( A \cup B )$ , contradiciendo que $U \subseteq A \cup B$ ¡!