Demuestra que $u = 0$ en $B_1 (0)$ si sólo suponemos que $u \in C^1 (B_1 (0))$ .

Question

Dejemos que $n \geq 2$ y $B_1 (0)$ sea la bola unitaria abierta en $\Bbb R^n$ . Supongamos que $u \in C^1 (B_1(0))\cap C(\overline{B_1 (0)})$ es una solución de la EDP lineal $$x \cdot Du=-u; x \in B_1 (0)$$

(a) Demuestre que $u = 0$ en $B_1 (0)$ .

(b) Demuestre que $u = 0$ en $B_1 (0)$ si sólo suponemos que $u \in C^1 (B_1 (0))$ .

Aquí puedo ver claramente que $u=0$ es una solución ya que satisface la EDP. También estaba tratando de resolverlo utilizando el método de la línea característica, por ejemplo, tomando $z=u(x(s))$ y $p=Du$ entonces tenemos $F(p,z,x)=x \cdot p+z$ y por lo tanto $\dot x(s)=x$ y $\dot z(s)=-z$ . No creo que este método sea útil ya que no hay condición de contorno.

¿Cómo intentar la parte a y la parte b entonces? Por favor, ayuda.

Answer 1

Para cada $x\in B_1(0)$ Considera que

$$f(t) = u(tx).$$

Entonces

$$f'(t) = \frac{d}{dt} u(tx) = x\cdot Du(tx) = \frac{1}{t} (tx)\cdot Du(tx) = -\frac{1}{t} f(t).$$

Así que $(tf)' = tf' + f= 0$ y así $t u(tx)$ es constante en $t$ . O, que

$$ u(x) = u \left( \| 2x\| \frac{x}{\|2x\|}\right) =\frac{1}{\|2x\|} \|2x\|u\left( \| 2x\| \frac{x}{\|2x\|}\right) = \frac{1}{2\|x\|}c\left(\frac{x}{2\|x\|}\right)$$

La única manera de que este $u$ es continua en $x=0$ es que $c = u = 0$ .