¿Qué primos se ramifican cuando son raíces contiguas de una unidad?

Question

1) Para ANF $K$ , si $\zeta_n, u\in\cal O_k^\times$ ¿hay algún primo que se ramifique en $k(\sqrt[n]{u})/k$ ?

2) ¿está el HCF compuesto únicamente por todas esas extensiones, o hay otras?

Una larga historia: Deja que $k$ sea un campo numérico algebraico. Estoy buscando primos que se ramifican en extensiones arbitrarias $L/k$ . Descompongo la extensión $L/k$ en extensiones más pequeñas, que son más fáciles de analizar:

• Una serie de extensiones ciclotómicas de $k$ . Si $q^n$ -raíz de la unidad es adyacente, entonces $q$ es el único primo de $L$ que puede ramificarse. (Prueba: ver Primas ramificadas en un campo numérico ciclotómico de un orden de potencia primo )
• Un número de raíces de no unidades de $\cal O$ . Si somos colindantes $\sqrt[n]{p}$ entonces los únicos primos ramificados son los que dividen el ideal generado por $p$ en $\cal O$ (creo que esto es un si y un solo si), y también sobre $n$ .
• Un número de raíces de unidades de $\cal O$ . Una vez más, los primos sobre $n$ pueden ramificarse; ¿cómo puedo averiguar si lo hacen o no? [respuesta parcial de Lubin; editado para reflejar la respuesta de mercio] ¿Hay otras que se ramifican?
• Además, ¿el campo de clases de Hilbert está compuesto principalmente por raíces contiguas de unidades de $\cal O$ ?

Las referencias también están bien.

Answer 1

1. En la ampliación $k(\sqrt[n]{u})/k$ , sólo los primos que dividen a $n$ puede ramificarse. Que lo hagan depende de las congruencias de $u$ módulo de potencias de ideales primos por encima de $n$ . Encontrarás lo que necesitas en el libro de Hecke (Lectures on the Theory of Algebraic Numbers, § 39).

2. Si $k$ contiene las raíces de la unidad apropiadas, entonces se obtiene el campo de la clase Hilbert adosando el $n$ -raíz de un elemento para el que el ideal que genera es un $n$ - la potencia. Si $k$ no tiene las raíces de unidad necesarias tendrá que unirlas primero.

Answer 2

Cuando se adjunta un $n$ raíz, primos sobre $n$ a menudo se ramifica. Por ejemplo, considere la adición de una raíz cuadrada de $3$ a $\Bbb Q$ .