Una prueba similar para lo que sigue se puede encontrar en la página 39 del libro Probability with Martingales (1991) de David Williams. Definir las siguientes colecciones de conjuntos:
\begin{align*}\Pi_1&=\Big\{\lbrace \omega\in\Omega: X(\omega)\le x\rbrace\cap \lbrace \omega\in\Omega: Y(\omega)\le y\rbrace:x,y\in\mathbb{R}\Big\},\\ \Pi_2&=\Big\{\lbrace \omega\in\Omega: Z(w)\le z\rbrace:z\in\mathbb{R}\Big\}. \end{align*}
Se puede demostrar fácilmente que $\Pi_1$ y $\Pi_2$ son $\pi$ -sistemas tales que $$\sigma(\Pi_1)=\sigma(X,Y)\quad\text{and}\quad \sigma(\Pi_2)=\sigma(Z).$$
Para demostrar que $\sigma(X,Y)$ y $\sigma(Z)$ son independientes, por definición debemos demostrar que $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ para todos $A\in \sigma(X,Y)$ y $B\in \sigma(Z)$ .
A tal fin, fijar $A\in \Pi_1$ y define las dos medidas siguientes (puedes demostrar que son medidas) $\mu_{1},\mu_{2}:\mathcal{F}\rightarrow [0,\infty)$ de la siguiente manera: $$\mu_1(B)=P(A\cap B)\quad\text{and} \quad \mu_2(B) = P(A)P(B).$$ Desde $A\in \Pi_1$ podemos escribir $A=\lbrace X\le x\rbrace\cap \lbrace Y\le y\rbrace$ para algunos $x,y\in\mathbb{R}$ . Por la independencia de las variables aleatorias $X$ , $Y$ y $Z$ , si $B=\lbrace{Z\le z\rbrace}\in \Pi_2$ entonces encontramos que \begin{align*}\mu_1(B) &= P(A\cap B) \\&= P\left(\lbrace X\le x\rbrace\cap \lbrace Y\le y\rbrace\cap \lbrace{Z\le z\rbrace}\right) \\&= P\left(\lbrace X\le x\rbrace\right)\cdot P\left(\lbrace Y\le y\rbrace\right)\cdot P\left(\lbrace{Z\le z\rbrace}\right)\\&=P\left(\lbrace X\le x\rbrace\cap \lbrace Y\le y\rbrace\right)\cdot P\left(\lbrace{Z\le z\rbrace}\right)\\&=P(A) P(B)\\&=\mu_2(B). \end{align*} Esto demuestra que las medidas $\mu_1$ y $\mu_2$ acordar el $\pi$ -sistema $\Pi_2$ . Además, hay que tener en cuenta que $\mu_1(\Omega)=\mu_2(\Omega) = P(A)<\infty$ . Ahora podemos utilizar el siguiente hecho: las medidas finitas que coinciden en un $\pi$ -sistema también están de acuerdo en el $\sigma$ -generada por la $\pi$ -sistema. Por lo tanto, $$P(A\cap B) = P(A)P(B)\quad\text{for all}\quad A\in \Pi_1\quad\text{and}\quad B\in \sigma(Z).$$ Ahora arreglar $B\in \sigma(Z)$ y definir dos medidas más $\mu_{3},\mu_{4}:\mathcal{F}\rightarrow [0,\infty)$ de la siguiente manera: $$\mu_3(A)=P(A\cap B)\quad\text{and} \quad \mu_2(A) = P(A)P(B).$$ Nuestro argumento anterior mostraba que $\mu_3$ y $\mu_4$ acordar el $\pi$ -sistema $\Pi_1$ . Además, $\mu_3(\Omega)=\mu_4(\Omega)=P(B)<\infty$ . Utilizando el mismo hecho que antes, concluimos que $\mu_3$ y $\mu_4$ estar de acuerdo $\sigma(X,Y)$ . Esto completa la prueba.
Este argumento puede generalizarse como sigue: Sea $X_1,X_2,\dots$ sea una secuencia de variables aleatorias independientes. Entonces $\sigma(X_1,\dots, X_n)$ y $\sigma(X_{n+1}, X_{n+2}, \dots)$ son independientes para cada $n\in\mathbb{N}$ ; véase la página 47 de Williams (1991).
