¿Hay alguna diferencia entre $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ y $T:F^n \rightarrow F^k$ en Álgebra lineal?

Question

¿Puede alguien decirme cuál es la diferencia entre $T:F^n \rightarrow F^k$ y $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^k$ Sé que ambos están hechos para definir una Transformación Lineal pero nunca he entendido cuál es el $F$ significa.

Gracias de antemano.

Answer 1

$\mathbb{R}$ se refiere a números reales, pero $F$ es un campo general.

Por lo tanto, $T:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^k$ es un caso especial de $T:F^n\rightarrow F^k$ , donde $T$ transforma vectores del espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ a los vectores del espacio vectorial $\mathbb{R}^k$ .

En general, cualquier conjunto de objetos que tienen las siguientes propiedades forman un campo:

0- Operaciones ( $+$ ) (adición) y ( $*$ ) (multiplicación) se definen en los objetos.

Para $x,y,z\in F$ se deben cumplir las siguientes propiedades:

1- Cierre bajo adición y multiplicación: $x+y, x*y\in F$

2- Asociatividad de la suma y la multiplicación: $x+(y+z)=(x+y)+z$ y $x*(y*z)=(x*y)*z$

3- Conmutatividad de la suma y la multiplicación: $x+y=y+x$ y $x*y=y*x$

4- Existencia de elementos de identidad aditivos y multiplicativos: Deben existir $0,1\in F$ tal que $0+x=x$ y $1*x=x$

5- Existencia de inversos aditivos e inversos multiplicativos

6- Distributividad de la multiplicación sobre la suma

Más información sobre los campos aquí .

Answer 2

Supongo que $F$ es un campo arbitrario. Los números reales $F=\mathbb{R}$ es sólo un ejemplo de un campo .

Otros campos que conoce, son $F=\mathbb{Q}$ y $F=\mathbb{C}$ . Pero también hay otros campos, por ejemplo los campos finitos (campos que sólo tienen un número finito de "escalares").