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Último dígito distinto de cero de a $2010!$

Tengo que calcular el último dígito distinto de cero de a $2010!$

Hasta ahora no he podido encontrar ningún patrón.

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Roger Hoover Puntos 56

$2010!$ termina con $501$ ceros ya que: $$\sum_{n=1}^{5}\left\lfloor\frac{2010}{5^n}\right\rfloor=501.\tag{1}$$ Por la misma razón, $$ \nu_2(2010!)=\sum_{n=1}^{10}\left\lfloor\frac{2010}{2^n}\right\rfloor=2002\tag{2}$$ por lo $\frac{2010!}{10^{501}}$ es un número par, y desde: $$ 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\equiv -1\pmod{5} \tag{3}$$ de ello se sigue que: $$\begin{eqnarray*}\frac{2010!}{5^{501}}\equiv \frac{(-1)^{\frac{2010}{5}}5^{402}402!}{5^{501}}&\equiv& \frac{5^{402}\cdot 2 \cdot (-1)^{\frac{400}{5}}\cdot 5^{80}\cdot 80!}{5^{501}}\equiv\frac{5^{482}\cdot 2\cdot 5^{16}\cdot 16!}{5^{501}}\\&\equiv&\frac{2\cdot 16!}{5^3}\equiv\frac{2\cdot(-1)^{\frac{15}{5}}\cdot 5^3\cdot 3!}{5^3}\equiv 3\pmod{5}\end{eqnarray*}$$ y desde $2^{501}\equiv 2\pmod{5}$ tenemos: $$ \frac{2010!}{10^{501}}\equiv 4\pmod{5}\tag{4} $$ así que el último no-dígito cero de $2010!$ $\color{red}{4}$ por el teorema Chino.

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