Trivialización local y marco local

Question

El libro de texto me dijo que si $(\pi,E,M)$ es un haz vectorial, si tenemos un marco local $s_i$ de $E$ en $U$ entonces para todo vector $v_p$ en $p$ tenemos

$$v_p=c_1s_1+\cdots+c_ks_k$$

Entonces definimos k mapas $c_i$ de $\pi^{-1}(U)$ a $\mathrm{R}$ por lo que podemos definir una trivialización local de $E$ en $U$ al establecer

$$\Omega_U(p,v_p)=(p,c_1,…c_k)$$

Pero ¿cómo puedo demostrar que cada $c_i$ ¿es suave?

Answer 1

La pregunta es local en $M$ Así que vamos a suponer que $E=U\times\mathbb{R}^k$ en realidad es trivial sobre $U$ . Podemos pensar en cada $s_i$ como una función suave $U\to\mathbb{R}^k$ , tal que para cada $p\in U$ los vectores $s_1(p),\dots,s_k(p)$ son la base de $\mathbb{R}^k$ .

Ahora dejemos que $A(p)$ sea el $k\times k$ matriz cuyas columnas son los vectores $s_i(p)$ . La suposición de que estos vectores forman una base significa que $A(p)$ es invertible. Además, su mapa $v_p\mapsto (c_1,c_2,\dots,c_k)$ es sólo el mapa lineal $\mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^k$ dada por la matriz inversa $A(p)^{-1}$ .

Así que para demostrar que tu mapa es suave, sólo necesitas conocer las entradas de la matriz de $A(p)^{-1}$ son funciones suaves de $p$ . Pero esto es cierto porque las entradas de la matriz de $A(p)$ son funciones suaves de $p$ y el mapa que lleva una matriz invertible a su inversa es suave (esto se deduce de la fórmula explícita en términos de determinantes).