Cómo encontrar un valor para una variable que haga que una matriz (con dicha variable) sea igual a su propia inversa

Question

Me dan $$\begin{bmatrix}3&x\\-2&-3\\\end{bmatrix}$$ y se me pide que encuentre x tal que su inversa sea igual a sí misma. Para intentar esto primero traté de poner la pregunta en una matriz aumentada y obtuve esto:

$$\begin{bmatrix}1&x/3&1/3&0\\0&(x/3)-(3/2)&1/3&1/2\\ \end{bmatrix}$$

Descubrí que mi respuesta era incorrecta, así que lo intenté:

$$\begin{bmatrix}3&x\\-2&-3\\\end{bmatrix}$$ times $$\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\\\end{bmatrix}$$ para tratar de resolver x, pero encontró resultados insatisfactorios similares.

La respuesta es x = 4; ¿cómo puedo resolverlo? ¿He cometido un error con mis métodos o se trata de un camino totalmente equivocado?

Answer 1

Pista: ¿qué es $$ \pmatrix{3 & x\cr -2 & -3}^2 $$ ¿y qué necesitas que sea?

Answer 2

El determinante de la matriz es $$ \begin{vmatrix} 3 & x \\ -2 & -3 \end{vmatrix}=2x-9. $$ Suponiendo que esta matriz tiene una inversa, el determinante de esa inversa será el recíproco del determinante. Por lo tanto, debemos tener $$ 9+2x=\frac{1}{2x-9}\Rightarrow2x-9=\pm1. $$ Ahora, $2x-9=1$ cuando $x=5$ y $2x-9=-1$ cuando $x=4$ . Por lo tanto, estos son los dos únicos valores posibles. A partir de aquí, puede comprobar estos dos valores para ver lo que funciona.

Answer 3

Si tenemos un $ 2 \times 2 $ matriz $A$ entonces la inversa puede venir dada por

$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \tag{1} $$

Entonces con su matriz $A$

$$A = \begin{bmatrix} 3 & x \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \tag{2} $$

$$ A^{-1} = \frac{1}{-9+2x}\begin{bmatrix} -3 & -x \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \tag{3} $$

Tienes que encontrar dónde son iguales. Supongo que no lo haré todo.

Answer 4

$A^{-1} = A$ equivale a $A^2 = I$ o $A^2-I = 0$ .

Por lo tanto, el polinomio $\lambda^2-1 = (\lambda-1)(\lambda+1)$ debe aniquilar $A$ . Claramente $A \ne \pm I$ por lo que el polinomio característico de $A$ debe ser igual a $\lambda^2-1$ .

Tenemos

$$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & x \\ -2 & -3-\lambda\end{vmatrix} = \lambda^2 - 9 + 2x$$

Por lo tanto, $2x-9 = -1$ que da $x = 4$ .

Answer 5

Los dos métodos que has intentado deben dar una respuesta correcta.

Método 1. Encontrar la inversa de la matriz aumentada: $$ \left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&3&x\\ 0&1&-2&-3 \end{array} \right] \stackrel{R_1/3}= \left[\begin{array}{cc|cc} \frac13&0&1&\frac x3\\ 0&1&-2&-3 \end{array} \right] \stackrel{2R_1+R_2\to R_2}=\\ \left[\begin{array}{cc|cc} \frac13&0&1&\frac x3\\ \frac23&1&0&\frac {2x}3-3 \end{array} \right] \stackrel{\frac{3}{2x-9}\cdot R_2}= \left[\begin{array}{cc|cc} \frac13&0&1&\frac x3\\ \frac{2}{2x-9}&\frac{3}{2x-9}&0&1 \end{array} \right] \stackrel{-\frac{x}{3}\cdot R_2+R_1\to R_1}=\\ \left[\begin{array}{cc|cc} \frac13-\frac{2x}{3(2x-9)}&-\frac{x}{2x-9}&1&0\\ \frac{2}{2x-9}&\frac{3}{2x-9}&0&1 \end{array} \right].$$ Así que debe ser: $$\left[\begin{array}{cc} \frac13-\frac{2x}{3(2x-9)}&-\frac{x}{2x-9}\\ \frac{2}{2x-9}&\frac{3}{2x-9} \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 3&x\\ -2&-3 \end{array}\right] \Rightarrow x=4.$$ Método 2. Multiplica por su inversa (por condición debe ser igual a la matriz original y recuerda que el resultado es una matriz identidad: $A\cdot A^{-1}=I$ ): $$\left[\begin{array}{cc} 3&x\\ -2&-3 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} 3&x\\ -2&-3 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right] \Rightarrow \\ \left[\begin{array}{cc} 9-2x&0\\ 0&-2x+9 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right] \Rightarrow x=4.$$