Demostrar que $\log_8(9)+\log_9(10)+\log(11)<2\log_2(3)$

Question

El título original tenía una errata, el tercer término del LHS es $\log(11)$ .

Demostrar que $\log_8(9)+\log_9(10)+\log(11)<2\log_2(3)$

Estoy un poco frustrado con este simple problema. ¿Cómo se demuestra esto sin usar una calculadora? Sé que tanto el lado izquierdo como el derecho son mayores que 3. En el lado izquierdo, $\log_2(9)>\log_2(8)=3$ . En el lado derecho, cada término debe ser ligeramente mayor que 1. ¿Cómo debo empezar?

Answer 1

Lema: Para cualquier número natural $n\ge2$ :

$$\log_n(n+1) \gt \log_{n+1}(n+2)\qquad(1)$$

Prueba: Comprueba la última desigualdad demostrada en la página siguiente: Ineqaulidades logarítmicas

Ahora transforma la desigualdad de la siguiente manera:

$$\log_89+\log_910 +\log_{10}11<2\log_23$$

$$\log_89+\log_910 +\log_{10}11<\log_23^2$$

$$\log_89+\log_910 +\log_{10}11<\log_{2^3}3^6$$

$$\log_89+\log_910 +\log_{10}11<\log_{8}(9\cdot9^2)$$

$$\log_89+\log_910 +\log_{10}11<\log_{8}9 + \log_89^2$$

$$\log_910 +\log_{10}11<2\log_89$$

lo cual es obviamente cierto, porque el lema (1) garantiza que:

$$\log_89 \gt \log_910 \gt \log_{10}11$$

Answer 2

HINT

Recordemos que

$$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$$

entonces

$$\log_8(9)+\log_9(10)+\log(10)<2\log_2(3)\iff \frac{\log 9}{\log 8}+\frac{\log 10}{\log 9}+\log 11<2\frac{\log 3}{\log 2}$$