Permutaciones circulares con el género opuesto sentados juntos

Question

¿De cuántas maneras puede n hombres y n las mujeres se sientan en una mesa redonda dado que el mismo género nunca sentarse uno al lado del otro.

Por ensayo y error, creo que la respuesta es n!(n-1)!

Primero, intenté n!n!/2n porque hay 2n personas en el círculo pero está mal, así que intenté (n-1)!(n-1)! , utilizando 2 fórmulas de permutación circular, lo que también es erróneo. Finalmente, termino con n!(n-1)! que creo que es correcto. Pero, ¿por qué sólo hay una fórmula de permutación circular y una permutación normal? ¿Por qué no hay dos permutaciones circulares?

Answer 1

Supongamos que etiquetamos uno de los asientos como asiento 1, y los restantes numerados en el sentido de las agujas del reloj hasta $2n$ . Supongamos también que una de las mujeres se llama Alicia. Llamaremos equivalentes a dos asientos si son idénticos después de rotar los asientos hasta que Alicia se siente en el asiento 1.

Si Alice está en el asiento 1, todas las mujeres se sientan en los asientos numerados impar. Y hay (n-1)! tales asientos de mujeres (¡ya sabemos dónde está sentada Alicia!).

Entonces, para cada uno de esos asientos de sólo las mujeres, hay n! formas distintas de sentar a los hombres. Por lo tanto, su $(n-1)!n!$ total de plazas.

También se puede pensar en esto como: dado un asiento etiquetado como 1, los son $2(n!n!)$ posibles resultados - $n!n!$ cuando el asiento 1 está ocupado por una mujer, y $n!n!$ cuando el asiento 1 está ocupado por un hombre. Tomamos este "modulo" del $2n$ lugares posibles en los que está sentada una mujer arbitraria (Alice), por lo que el resultado es $\frac{2(n!n!)}{2n} = (n-1)!n!$ .