¿Por qué es $\sum_{p\leq x} \log p=O(x)$ ?

Question

Sé que $$2^{2n}=(1+1)^{2n}={2n\choose 0}+\cdots+{2n\choose n}+\cdots+{2n\choose 2n}\geq {2n\choose n}\geq \prod_{n < p \leq 2n} p$$

Si dejamos que $n=2^{k-1}$ esto implica que $\prod_{2^{k-1} < p \leq 2^k}\leq 2^{2^k}$ .

Por lo tanto, $\sum_{2^{k-1} < p \leq 2^k}\log p\leq 2^k \log 2$ . De ello se desprende que $$\sum_{ p \leq 2^k}\log p\leq (2^k+2^{k-1}+\cdots+1)\log 2\leq 2^{k+1}\log 2.$$

Mi amigo dijo que eso implica que existe alguna constante $C$ y $x_0$ s.t para todos $x\leq x_0$ $\sum_{ p \leq x}\log p\leq Cx$ .

¿Puede alguien explicarme por qué debería ser así?

Answer 1

Dejemos que $x>0$ y que $n_x=\lfloor \log_2 x\rfloor$ para que $2^{n_x}\leqslant x\leqslant 2^{1+n_x}$ . Usando lo que has dicho tenemos $$ \sum_{p\leqslant x}\log p\leqslant \sum_{p\leqslant 2^{1+n_x}} \log p\leqslant 4\log 2\times 2^{n_x}\leqslant (4\log 2) x $$ La constante $C=4\log 2$ trabaja allí.