¿Anillos con todos los módulos proyectivos?

Question

¿Existe una clasificación de los anillos conmutativos (con unidad) tal que cada módulo sobre el anillo es proyectivo?

Answer 1

Se llaman anillos "semisimples artinianos". Demostrar que un anillo $R$ (no se requiere conmutatividad) es artiniano semisimple si (equivalentemente)

0) (la definición es la mayoría de los libros de Teoría de Anillos) $R$ es artiniano derecho y no tiene ideales derechos nilpotentes no nulos.

1) Todo módulo R derecho es proyectivo.

2) Todo módulo R derecho es inyectivo.

3) Todo módulo R simple derecho es proyectivo.

4.1) Todo módulo derecho de R es semisimple

4.2) R es un módulo derecho semisimple sobre sí mismo (si se quiere, $R_R$ es igual a su zócalo).

5) $R$ consiste en la suma de (finitamente muchos) ideales derechos.