Si $g \circ f$ es suryente, demuestre que $f$ no tiene que ser sobreyectiva?

Question

Supongamos que $f: A \to B$ y $g: C \to D$ son funciones, y que $B C$ .

Tengo que presentar un ejemplo en el que $g \circ f$ es suryente pero $f$ no lo es. Estoy confundido sobre cómo hacer eso exactamente, pero entiendo que para demostrar que algo es sobreyectivo tienes que tener el rango de la función igual al codominio de la función. Este es mi intento:

Así que si $g(x) = x^2$ con un codominio de $$, and $ f(x) = \sqrt{x} $ with a codomain of $$ entonces $g(f(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$ . Como el rango de esta función y el codominio son iguales, es suryectiva.

Pero, como $f(x) = \sqrt{x}$ su alcance es sólo $[0, )$ que es más pequeño que su codominio de $$, meaning $ f$ no es sobreyectiva.

Answer 1

Poner $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definido por $f(x)=x^2$ y $g:\mathbb{R}\to \{0\}$ definido por $g(x)=0$ . Entonces $g\circ f:\mathbb{R}\to \{0\}$ es claramente sobreyectiva pero $f$ no es sobreyectiva.

Answer 2

Dejemos que $B=C=\{1,2\}$ y $A=D=\{3\}$ . A continuación, elija cualquier función $f,g$ que quieres, para conseguir $g\circ f$ suryectiva pero $f$ no es subjetivo.