Ampliación de la convergencia uniforme de funciones analíticas en dominios más grandes

Question

Dejemos que $f_k, f: ]-\infty , 1 [ \to \mathbb {R}$ sea analítica funciones. Supongamos que $f_k $ converge uniformemente a $f $ en $]-\infty,0] $ . ¿Es cierto que $f_k$ converge a $f$ en $]-\infty, \epsilon [$ para algunos $\epsilon >0$ ?

No veo un contraejemplo, pero nunca he visto esto antes. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Definir $f\equiv 0,$ y

$$f_n(x) = \frac{1}{(1+(x-1/n)^2)^{n^3}}, \,\,n=1,2,\dots$$

Entonces $f_n\to 0$ uniformemente en $(-\infty,0].$ Eso es porque $f_n(0)\to 0$ y $f_n(0)=\sup _{(-\infty,0]}f_n.$

Pero tenga en cuenta $f_n(1/n)=1$ para todos $n,$ lo que implica la convergencia uniforme a $0$ falla en $(-\infty,\epsilon)$ por cada $\epsilon >0.$