Cómo demostrar que el siguiente mapa es un mapa c.c.p.

Question

Aquí hay una cita en el libro "C*-algebrass and Finite-Dimensional Approximations" de Nate y Taka (P122).

Dejemos que $A$ sea un álgebra C*, $\Gamma$ sea un grupo discreto y el $\alpha$ es una acción de $\Gamma$ en $A$ . Si $F\subset \Gamma$ es un conjunto finito, defina $\psi: A\otimes M_{F}(\mathbb{C})\rightarrow C_{c}(\Gamma, A)$ por $$\psi(a\otimes e_{p, q})=\frac{1}{|F|}\alpha_{p}(a)\lambda_{pq^{-1}}.$$

entonces $\psi$ es un mapa contractivo completamente positivo.

De hecho, para demostrar que el mapa es completamente positivo, basta con demostrar que $\psi$ es positivo ya que el ejercicio 4.1.3 proporciona un diagrama conmutativo natural:

$$M_{n}(\mathbb{C})\otimes(A\otimes M_{F}(\mathbb{C}))\cong (M_{n}(\mathbb{C})\otimes A)\otimes M_{F}(\mathbb{C})$$

$$~~\downarrow~~~~~~\downarrow$$

$$M_{n}(\mathbb{C})\otimes(A\rtimes_{\alpha,r}\Gamma)\cong M_{n}(\mathbb{C})\otimes(A\rtimes_{\tau\otimes\alpha,r}\Gamma)$$

Ejercicio 4.1.3. Dejemos que $A$ y $B$ sean dos álgebras C* y $\Gamma$ sea un grupo discreto. Si $\alpha:\Gamma\rightarrow \mathrm{Aut}(A)$ es una acción y $\tau\otimes\alpha:\Gamma\rightarrow Aut(B\otimes A)$ se define por $(\tau\otimes\alpha)_{g}=\mathrm{id}_{B}\otimes\alpha_{g}$ entonces $$(B\otimes A)\rtimes_{\tau\otimes\alpha, r}\Gamma\cong B\otimes(A\rtimes_{\alpha, r}\Gamma).$$

Mi pregunta :

1. Cómo verificar $\psi$ ¿es contractiva?

2. ¿Cómo utilizar el diagrama conmutativo para "reducir" lo completamente positivo a positivo?

Answer 1

1: En un vistazo rápido, no veo inmediatamente cómo mostrar que $\psi$ es contractiva en general. Pero hay que tener en cuenta que cuando $A$ es unital por lo que es $\psi$ que junto con la positividad la hace contractiva. Creo que esta idea se puede extender al caso no unitario.

2: Cuando demuestre que $\psi$ es positivo, no es necesario utilizar ese $A$ es $A$ , sólo que es un C $^*$ -Álgebra. En particular, la misma prueba funciona para $M_n(\mathbb C)\otimes A$ . Esto te da la flecha hacia abajo de la derecha del diagrama como un mapa positivo. La conmutatividad del diagrama nos dice entonces que la flecha hacia abajo de la izquierda es un mapa positivo, y esto es $\psi^{(n)}$ . El mismo argumento se aplica a la contractividad.