Dejemos que $f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ sea una función integrable tal que $\int_{-\infty}^\infty f(t)\,dt = 1$ , $\int_{-\infty}^\infty tf(t)\,dt = 0$ , $\int_{-\infty}^\infty t^2f(t)\,dt = 1$ y $\int_\lambda^\infty f(t)\,dt \leq e^{-a \lambda^2}$ para alguna constante $a$ . Demostrar que $\int_{1/u}^\infty e^{ut}f(t)\,dt \leq e^{O(u^2)} ,\forall u>0$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Sea la función de distribución acumulativa complementaria de $f(t)$ sea
$$\bar{F}(\lambda)=\int_{\lambda}^\infty f(t)dt\leq e^{-a\lambda^2}.$$
Entonces podemos reescribir la integral
$$\int_{1/u}^\infty e^{ut}f(t)dt=-\int_{1/u}^\infty e^{ut}d\bar{F}(t)=-\left.e^{ut}\bar{F}(t)\right|_{1/u}^\infty+u\int_{1/u}^\infty\bar{F}(t)e^{ut}dt.$$
utilizando la integración por partes. El primer término se convierte en $e\bar{F}(1/u)$ . El $\infty$ enfoques finales $0$ porque $\bar{F}(\lambda)$ está limitada por la cola gaussiana $e^{-a\lambda^2}$ . Así que tenemos
$$\int_{1/u}^\infty e^{ut}f(t)dt\leq e^{1-a/u^2}+u\int_{1/u}^\infty e^{-at^2+ut\,}dt.$$
En el $u\rightarrow\infty$ límite, la primera integral se aproxima a la constante $e$ . La segunda integral se aproxima (y está limitada por) la integral incompleta de Gauss
$$u\int_0^\infty e^{-at^2+ut\,}dt=u\int_0^\infty e^{-a(t-\frac{u}{2a})^2+\frac{u^2}{4a}}dt\leq u\,e^{\frac{u^2}{4a}}\int_{-\infty}^\infty e^{-a(t-\frac{u}{2a})^2}dt=u\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{u^2}{4a}},$$
que está delimitado por $e^{Cu^2}$ para cualquier $C>\frac{1}{4a}$ en el $u\rightarrow\infty$ límite.
