Demuestra/desmiente que este conjunto de funciones es equicontinuo

Question

Estoy tratando de averiguar si el conjunto de funciones $$\{ g_a : a \in [1, \infty)\; in\; C[-1,1], \ g_{a}(x) = \frac {1}{(x-a)^{2}+1} \}$$ es equicontinuo.

He intentado manipular la desigualdad $|g_{a}(x) - g_{a}(y)|$ y lo tengo $|g_{a}(x) - g_{a}(y)| \le |y-x| |2a+2|$ pero esto no me da realmente un valor de $\delta$ que funciona para cualquier $a$ . Estoy atascado. Tampoco tengo la intuición de si es equicontinuo o no ¿hay algo que me lo pueda indicar?

Answer 1

Elija un $\epsilon > 0$ y tomar $\delta=\frac{\epsilon}{2}$ . Sea $|y-x|<\frac{\epsilon}{2}$ . Entonces: \begin{align} |g_a(x)-g_a(y)|&=\Big|\frac{1}{(x-a)^2+1}-\frac{1}{(y-a)^2+1}\Big| \\ &=\frac{|y-x|~|y+x-2a|}{[(x-a)^2+1]~[(y-a)^2+1]} \\ & \leq \frac{|y-x|~(|y-a|+|x-a|)}{[(x-a)^2+1]~[(y-a)^2+1]} \\ &=|y-x|~\Big[\frac{|x-a|}{[(x-a)^2+1]~[(y-a)^2+1]}+\frac{|y-a|}{[(x-a)^2+1]~[(y-a)^2+1]}\Big] \end{align} Ahora bien, si $|x-a|<1$ entonces $(x-a)^2+1-|x-a|\geq0 \Rightarrow \frac{|x-a|}{[(x-a)^2+1]} \leq 1 \Rightarrow \frac{|x-a|}{[(x-a)^2+1]~[(y-a)^2+1]} \leq 1$ .

Si $|x-a|\geq 1$ entonces $|x-a| \leq (x-a)^2 \leq (x-a)^2 +1 \Rightarrow \frac{|x-a|}{[(x-a)^2+1]} \leq 1 \Rightarrow \frac{|x-a|}{[(x-a)^2+1]~[(y-a)^2+1]} \leq 1$ .

Por lo tanto, en cualquier caso tenemos $ \frac{|x-a|}{[(x-a)^2+1]~[(y-a)^2+1]} \leq 1$ . Similar para $y$ exdpresión relacionada. Ahora, a partir de lo anterior, obtenemos \begin{equation} |g_a(x)-g_a(y)| \leq 2~|y-x|<\epsilon \end{equation} para todos $a$ .