Sean a,b,c números complejos distintos no nulos con $|a|=|b|=|c|$ Si cada uno de ...

Question

Problema :

Sean a,b,c números complejos distintos no nulos con $|a|=|b|=|c|$ Si cada una de las ecuaciones $az^2+bz+c=0$ y $bz^2+cz+a=0$ tiene una raíz con módulo 1, entonces demuestre que : $|a-b|=|b-c|=|c-a|$

Mi enfoque :

Dejemos que $z_1,z_2$ sean las raíces de la ecuación con $|z_1|=1$ Desde $z_2=\frac{c}{a}.\frac{1}{z_1}$

nosotros g et $|z_2|=|\frac{c}{a}|\frac{1}{|z_1|} =1$ Como $z_1+z_2=-\frac{b}{a}, |a|=|b|$

obtenemos $|z_1+z_2|^2=1$

$\Rightarrow (z_1+z_2)^2=z_1.z_2$ = $(-\frac{b}{a})^2=\frac{c}{a}$

$\Rightarrow b^2=ac$

Asimismo, $a^2=bc$

Ahora, por favor, sugiera cómo seguir adelante, será de gran ayuda gracias.

Answer 1

Dejemos que $a=\rho e^{i\theta_a}, b=\rho e^{i\theta_b}, c=\rho e^{i\theta_c} $ . Si $e^{i\eta}$ es una raíz de $ax^2+bx+c$ por el teorema de Viète la otra raíz es $\frac{c}{a}e^{-i\eta}$ y $$ e^{i\eta}+\frac{c}{a}e^{-i\eta} = -\frac{b}{a}.$$ Todos los términos de esta ecuación son números complejos con módulo unitario, pero la suma de dos números complejos con módulo unitario sigue siendo un número complejo con módulo unitario en muy pocos casos, concretamente sólo en los que la diferencia de los argumentos es $\frac{2\pi}{3}$ . Eso da que el ángulo entre $a$ y $c$ es $\frac{2\pi}{3}$ y por un argumento similar con el segundo polinomio tenemos también que el ángulo entre $a$ y $b$ es $\frac{2\pi}{3}$ por lo que el triángulo con vértices en $a,b,c$ es equilátero y se cumple la afirmación.