Derivado de $(\sin \theta)^{n-1}$

Question

Por favor, explíqueme por qué la derivada de $$(\sin \theta)^{n-1} = (n-1)\cos\theta \cdot (\sin \theta)^{n-2}$$

¡Muchas gracias!

Answer 1

$\sin^{n-1}\theta$ es la composición $f\circ g$ de $f\colon x\mapsto x^{n-1}$ y $g\colon x\mapsto \sin x$ . Por lo tanto, se aplica la regla de la cadena: $(f\circ g)'(\theta)=g'(\theta)f'(g(\theta))$ .

Answer 2

Una combinación de la regla de la potencia y la regla de la cadena.

Poner $u=\sin\theta$ para que $\sin^{n-1}\theta=u^{n-1}$ . Por regla de poder, $$\frac{d}{du}\left[u^{n-1}\right]=(n-1)u^{n-2}=(n-1)\sin^{n-2}\theta.$$ Por la regla de la cadena, $$\frac{d}{d\theta}\left[\sin^{n-1}\theta\right]=\frac{d}{d\theta}\left[u^{n-1}\right]=\frac{d}{du}\left[u^{n-1}\right]\cdot\frac{du}{d\theta}=(n-1)\sin^{n-2}\theta\cdot\cos\theta.$$

Answer 3

Puedes demostrarlo por inducción y utilizando la regla del producto de la diferenciación es decir $(f\cdot g)'= f'\cdot g+f\cdot g'$

para $k=2$ tiene $(\sin ^{2-1}x)'= (\sin x )'= (2-1)\cos x \sin ^0 x$

suponer que se mantiene para

$k=n-1$ $$(\sin ^n x )'=(\sin x \sin ^{n-1} x)'= (\sin x)'\sin ^{n-1} x +\sin x (\sin ^{n-1} x )'$$ por inducción obtenemos $$=\cos x \sin ^{n-1} x +\sin x (n-1) \cos x \sin ^{n-2} x = n \cos x \sin ^{n-1} x$$

Answer 4

Utilizando la regla de la cadena, obtenemos que $$\dfrac{d ((f(x))^k)}{dx} = \dfrac{d ((f(x))^k)}{d f(x)} \dfrac{d f(x)}{dx} = k (f(x))^{k-1} \dfrac{df(x)}{dx}$$ En tu caso, $f(x) = \sin(x)$ , $k=n-1$ . Recordemos que la derivada de $\sin(x)$ es $\cos(x)$ .

Answer 5

Es la regla de la cadena:

primero se toma la derivada de $\sin^{n-1} (x)$ se convierte en $(n-1)\sin^{n-2} (x)$ entonces hay que tomar la derivada de $\sin( x)$ que es $\cos (x)$ y así la respuesta es $(n-1)\cos (x) \sin^{n-2} (x)$