Zeta de Weierstrass, función sigma identidad de pseudoperidocidad

Question

1. El enunciado del problema, todas las variables y los datos dados/conocidos

Dejemos que ${w_1,w_2} $ sea una base para $\Omega$ el entramado del período.

Utilisez $\zeta (z+ w_{i})=\zeta(z)+ n_i$ , $i=1,2$ ; $ m \in N$ para la función zeta de Weierstrass para demostrar que

$\sigma ( z + mw_i )=(-1)^m \exp^{(mn_i(z+mw_i/2))}\sigma(z)$

2. Ecuaciones relevantes

Para que se tenga en cuenta que $\sigma(z)$ es una función impar.

$\zeta(z)=\frac{\sigma'(z)}{\sigma(z)}$

3. El intento de solución

Estoy bastante cerca pero la lío con no conseguir $(-1)^m$

Desde $\zeta (z+ w_{i})=\zeta(z)+ n_i$ Me sale $\zeta (z+ mw_{i})=\zeta(z)+ mn_i$ . $\frac{d}{dz} log \sigma(z+mw_i) = \frac{d}{dz} log \sigma(z) + mn_i$ y $ \sigma(z+mw_i) = \sigma(z)\exp{mn_i z} A $ , $A$ una constante de integración.

Y ahora para determinar $A$ Utilizo la rareza de $\sigma(z)$ (impar como en la función impar..) estableciendo $z=\frac{-mw_i}{2}$ : $\sigma(\frac{mw_i}{2})=\sigma(\frac{-mw_i}{2})A\exp^{-m^2n_iw_i/2}$ $\implies A= - \exp^{\frac{m^2n_iw_i}{2}}$ $ \sigma(z+mw_i) = - \sigma(z)\exp{mn_i (z+mw_i/2)} $ Así que tengo un signo menos en lugar de $(-1)^m$ ¿podría alguien decirme qué he hecho mal? Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Has cometido un simple error. En su paso cuando se establece $z=-mw_i/2$ se olvidó de señalar que $\sigma(z)$ tiene ceros en todos los múltiplos enteros de $w_i$ y así cuando se divide por $\sigma(\frac{mw_i}{2})$ y $m$ es par, entonces estás dividiendo por cero. Cuando $m$ es impar, sólo tienes $-1$ que es $(-1)^m$ cuando $m$ es impar.