No estaba muy seguro de cómo redactar el título. Supongamos que tengo una función puramente dependiente del tiempo $x(t)$ y quiero saber cuál es su tiempo de derivación $\dot{x}:=\dfrac{dx}{dt}$ . Entonces pregunto cómo la derivada temporal de $x$ cambios como $x$ cambios. Así que estoy considerando $\dfrac{d\dot{x}}{dx}$ . ¿Tiene esto sentido? Porque en todos los cursos aplicados que he hecho te dicen que no es "matemática propiamente dicha" pero que básicamente puedes dividir por un diferencial si aparece tanto en el numerador como en el denominador de una fracción. Así que $\dfrac{d\dot{x}}{dx}=\dfrac{d}{dx} \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d}{dt}.$ Esto no tiene mucho sentido para mí - ¿cómo podemos haber tomado una derivada y llegar a un operador diferencial?
La motivación de esta pregunta es que estoy haciendo un curso aplicado donde estoy calculando las ecuaciones de Euler-Lagrange para alguna lagrangiana, y la lagrangiana es explícitamente una función de $\dot{x}$ y las ecuaciones E-L implican tomar el parcial $x$ derivada del Lagrangiano. Entiendo que al tomar la derivada parcial con respecto a $x$ Si mantienes todas las demás variables constantes. ¿Tiene $\dot{x}$ ¿cuenta como una variable separada? Estoy bastante seguro de que cuando hice un curso de introducción a la dinámica hace uno o dos años, me dijeron que la derivada $\dfrac{\partial{\dot{x}}}{\partial{x}}$ es cero, pero creo que nunca se explicó.
Hace poco se me ocurrió que sólo se construye sobre lo que se enseña en los cursos anteriores, y que realmente no hay muchas oportunidades de repasar conceptos antiguos que ya deberías saber, así que puede que sea una pregunta estúpida pero si no pregunto me quedo con el malentendido. ¡Gracias por cualquier ayuda!
