Tengo problemas para entender cómo (y si) funciona la condensación de Bose-Einstein en un oscilador armónico 1-D. Según mis cálculos, parece que en el límite de un número infinito de partículas, casi todas ellas se encuentran en el estado básico, independientemente de la temperatura.
He encontrado bastantes artículos interesantes sobre este sistema, tanto de matemáticas y la perspectiva física (en este último caso la gente incluso lo está realizando construyendo trampas ópticas en forma de cigarro), pero no he encontrado ninguna respuesta que me satisfaga.
Este es mi razonamiento:
En el conjunto canónico (es decir, el número de partículas es fijo), el estado térmico es $\rho=\frac{\exp(-H/T)}{\text{Tr}[\exp(-H/T)]}$ para que el estado propio a la energía $E$ tiene una población proporcional a $\exp(-E/T)$ . El hecho de que el sistema subyacente sea de naturaleza bosónica no debería -en mi opinión, puedo estar equivocado aquí- afectar a la forma (como matriz exponente/estado de Gibbs) del estado térmico de ninguna manera.
El Hamiltoniano del oscilador armónico es $H=\sum\limits_{k=0}^{\infty} k a_k^\dagger a_k $ , donde $a_k$ actúa sobre $k$ -subespacio de excitación y naturalmente $H$ puede verse como la suma de $(\text{energy of excitation})\times(\text{number of excitations})$ . He establecido el espacio de energía $\hbar\omega$ a $1$ y desplazó el estado básico a $0$ para mayor comodidad. Los estados propios del Hamiltoniano son estados simples de Fock, por ejemplo $H|0,2,1,0,3,7,\ldots\rangle=(2\times 1+1\times 2+3\times4+7\times5)|0,2,1,0,3,7,\ldots\rangle=51|0,2,1,0,3,7,\ldots\rangle$ .
A partir de ahora, el número de partículas se fija y se denota por $N$
En el estado térmico, la población de algún nivel de energía $E$ es su tiempo de degeneración $\exp(-E/T)$ (veces la constante de normalización). En el caso del oscilador armónico (con $\hbar\omega=1$ y la energía nula del estado básico) para determinar la degeneración de cada energía una biyección entre estados Fock de energía dada $E$ y particiones de enteros de $E$ se puede dibujar: cada partición entera con una longitud máxima de $N$ Por ejemplo $$51=1+1+2+4+4+4+5+5+5+5+5+5+5$$ corresponde a un estado Fock: $k_i$ repeticiones de enteros $i$ se parece a $k_i$ de $i$ -a la excitación. La partición anterior puede interpretarse, pues, como el estado de Fock $|0,2,1,0,3,7,\ldots\rangle$ . Si la longitud de la partición de números enteros no es igual al número de partículas, simplemente poblamos el estado básico - o añadimos ceros a la partición. Por lo tanto, el número de particiones enteras de $E$ con una longitud máxima de $N$ es la degeneración de la energía $E$ en el sistema de $N$ bosones en la trampa armónica. Además, la longitud máxima de todas las particiones enteras de $E$ es por supuesto $E$ , como $E=1+1+\ldots+1$ .
Fijemos el número de partículas $N=10^6$ y la temperatura $T=60$ (que son, si no recuerdo mal, los parámetros adecuados para las trampas ópticas de la vida real). Un cálculo rápido muestra que el estado más poblado está en torno a la energía $E=2000$ pero todos los estados en este rango de energía tienen casi todas las partículas en el estado básico (por ejemplo, si el 1% de las partículas no están en el estado básico, la energía es al menos $0.01*10^6=10^4$ ).
En el límite de un número infinito de partículas, esto sucede independientemente de la temperatura : casi todos (es decir, excepto para un número finito) partículas en los estados más probables se encuentran en el estado de reposo .
¿Es correcto este resultado? Estoy confundido, ya que el gas Bose en una caja tiene un comportamiento completamente diferente : dependiendo de la dimensionalidad, existe una temperatura de condensación bien definida ( $d\ge 3$ ) o es imposible ( $d\le 2$ ).
