Integral triple entre los paraboloides $z = x^2 + y^2$ y $z = 4 - x^2 - 3 y^2$ .

Question

Tengo que calcular $\int_D f$ , donde $D$ es la región en ${\mathbb{R}}^3$ entre los paraboloides $z = x^2 + y^2$ y $z = 4 - x^2 - 3 y^2$ y $f : D \to \mathbb{R}$ viene dada por $f(x , y , z) = x^2 + 2 y^2$ .

Mi intento: Si utilizo coordenadas cilíndricas $(\rho , \theta , z) \in (0 , \infty) \times (0 , 2 \pi) \times \mathbb{R}$ dado por $$ \left\{ \begin{array} xx = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \end{array} \right. $$ Los límites de $z$ con los paraboloides son $$ {\rho}^2 = x^2 + y^2 \leq z \leq 4 - x^2 - 3 y^2 \leq 4 - {\rho}^2 (1 + 2 {\sin}^2 \theta). $$ (¿por qué tenemos $x^2 + y^2 \leq z \leq 4 - x^2 - 3 y^2$ y no por ejemplo $x^2 + y^2 \geq z \geq 4 - x^2 - 3 y^2$ sin dibujar ). De esto se deduce que $$ x^2 + y^2 \leq 4 - x^2 - 3 y^2 \quad \Longrightarrow \quad x^2 + 2 y^2 \leq 2 \quad \Longrightarrow \quad \rho \leq \sqrt{\frac2{1 + 2 {\sin}^2 \theta}}. $$ Finalmente la integral es $$ \int_{\theta = 0}^{2 \pi} \left(\int_{\rho = 0}^{\sqrt{\frac2{1 + 2 {\sin}^2 \theta}}} \left(\int_{z = {\rho}^2}^{4 - {\rho}^2 (1 + 2 {\sin}^2 \theta)} {\rho}^3 (1 + 2 {\sin}^2 \theta) \, dz\right) \, d \theta\right) \, d \theta = \frac{32 \pi}{9 \sqrt{3}}. $$

¿Se ve bien?

Answer 1

En su trabajo, usted tiene $\rho \leq \sqrt{\frac2{1 + 2 {\sin}^2 \theta}}$ . Eso no es correcto como puedes ver. Debería serlo, $\rho \leq \sqrt{\frac2{1 + {\sin}^2 \theta}}$ . También es necesaria la misma corrección en el integrando, $x^2+2y^2 = \rho^2 (1+\sin^2\theta)$ y no $\rho^2 (1 + 2 \sin^2\theta)$ .

Dicho esto, esto es lo que yo sugeriría como un trabajo más simple. Usted encontró la intersección de las superficies como $x^2+2y^2 = 2$ . Por lo tanto, utilice la siguiente sustitución,

$x = \sqrt2 \ r \cos\theta, y = r \sin\theta$ entonces la elipse $x^2+2y^2 = 2$ se transforma en un círculo de radio $1$ centrado en el origen. La jacobiana de la transformación es $\sqrt2 \ r$ .

Así que las ecuaciones de los paraboloides se convierten,

$z = x^2 + y^2 = r^2 + r^2 \cos^2\theta; z = 4 - x^2 - 3y^2 = 4 - 2 r^2 - r^2 \sin^2\theta$

Integrante $x^2 + 2y^2 = 2 r^2$ .

Ahora evaluamos la integral,

$\displaystyle \iiint_D (x^2+2y^2) \ dx \ dy \ dz = 2 \sqrt2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{r^2 + r^2 \cos^2\theta}^{4 - 2 r^2 - r^2 \sin^2\theta} r^3 \ dz \ dr \ d\theta $

$ \displaystyle = \frac{4 \sqrt2 \ \pi}{3}$