Demostrar o refutar
Cualquier conjunto convexo y cerrado en R tiene que ser un intervalo cerrado de la forma [a,b]
Inicialmente pensé que la propia R es convexa y cerrada y no de esta forma. Así que, contraejemplo.
Pero entonces me di cuenta de que R también es abierto, es decir, R es un conjunto cerrado. Entonces este enfoque puede fallar, ¿no?
Cualquier acotado conjunto cerrado convexo tiene que ser un intervalo cerrado de la forma $[a,b]$ (prueba: dejemos $a$ sea el mínimo del conjunto y $b$ el supremum; acotado implica que ambos están en $\mathbb R$ (el cierre implica que ambos están en el conjunto; la convexidad implica que todos los puntos dentro del intervalo también lo están).
Como usted dice, los conjuntos no limitados como $\mathbb R$ no son de esta forma - si quieres un ejemplo que no sea abierto entonces $[a,\infty)$ o $(-\infty, b]$ lo hará.
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