Lógica proposicional Prueba mediante I.P. o C.P. o reglas de inferencia

Question

Estoy intentando resolver una prueba que me pidió mi profesor. Podemos utilizar cualquiera de las reglas de inferencia, Prueba Indirecta o Prueba Condicional. Cada vez que creo que estoy avanzando me encuentro con una pared de ladrillos. Esta es la pregunta.

1. $Q \lor (R \rightarrow S)$
2. $[R \rightarrow (R \rightarrow S)] \rightarrow (T \lor U)$
3. $(T \rightarrow Q) \land (U \rightarrow V)$
4. Conclusión: $Q \lor V$

Creo que la solución más fácil sería conseguir $(T \lor U)$ de la línea 2 y luego usarlo como un Dilema Constructivo con la línea 3 pero realmente estoy luchando por pasar el $[R \rightarrow (R \rightarrow S)]$ parte con el fin de obtener $(T \lor U)$ . Si alguien puede ayudar será muy apreciado.

edit* He conseguido pasar la parte mencionada anteriormente, pero ahora estoy luchando por conseguir $(R \rightarrow S)$ de la línea uno.

Traducciones:

• " $\supset = \rightarrow$ "(si...entonces)
• " $\bullet = \land$ "(y)
• ~ = $\lnot$ (no)

aquí está mi trabajo hasta ahora. He estado tratando de cualquier cosa durante las últimas 4 horas y no tengo idea de dónde voy a partir de aquí.

Answer 1

Resulta que $R \rightarrow (R \rightarrow S)$ es en realidad equivalente a $R \rightarrow S$ . Se puede mostrar esto de un par de maneras diferentes: usar la Equivalencia Material dos veces, más las leyes asociativa y conmutativa para la disyunción, o alternativamente, usar la exportación. (Para esto último, sin embargo, necesitarías algunas líneas adicionales para justificar el giro $R \wedge R$ en $R$ ya que no parece ser una de sus equivalencias permitidas).

Cómo encajar esto en una solución global, basada en la prueba indirecta: Supongamos que la conclusión deseada es falsa, lo que por De Morgan y la simplificación le da tanto $\neg Q$ y $\neg V$ . Por silogismo disyuntivo se obtiene entonces $R \rightarrow S$ y tras aplicar la mencionada equivalencia seguida del Modus Ponens, se llega a $T \vee U$ . Simplificando la tercera premisa y aplicando un dilema constructivo se llega a $Q \vee V$ una contradicción.

Answer 2

1. [Q∨(R→S)] supuesto

2. {[R→(R→S)]→(T∨U)} supuesto

3. [(T→Q)∧(U→V)] supuesto

4. [~~Q∨(R→S)] 1 doble negación

5. [~Q→(R→S)] 4 implicación material

6. [~Q→((R∧R)→S)] 5 ∧ tautología

7. [~Q→((R→(R→S)] 6 exportación

8. [~Q→(T∨U)] 7, 2 silogismo hipotético

9. (U→V) 3 simplificación (este paso no es correcto... primero hay que usar la ∧ conmutatividad, y luego usar la simplificación.. ¿edito esto para hacerlo explícito, o está suficientemente claro?).

10. [~Q→(~~T∨U)] 8 doble negación

11. [~Q→(~T→U)] 10 implicación material

12. [(~Q∧~T)→U) 11 exportación

13. [(~Q∧~T)→V] 12, 9 silogismo hipotético

14. [(~T∧~Q)→V] 13 ∧ conmutación

15. [~(T∨Q)→V] 14 De Morgan

16. [~~(T∨Q)∨V] 15 equivalencia material

17. [(T∨Q)∨V] 16 doble negación

18. [T∨(Q∨V)] 17 asociatividad

19. [(Q∨V)∨T] 18 ∨ conmutatividad

20. (T→Q) 3 simplificación

21. [~~(Q∨V)∨T] 19 doble negación

22. [~(Q∨V)→T] 21 implicación material

23. [~(Q∨V)→Q] 21, 19 silogismo hipotético

24. [~~(Q∨V)∨Q] 23 implicación material

25. [(Q∨V)∨Q] 24 doble negación

26. [(V∨Q)∨Q] 25 ∨ conmutatividad

27. [V∨(Q∨Q)] 26 asociatividad

28. [V∨Q] 27 ∨ tautología

29. [Q∨V] 28 ∨ conmutatividad

Answer 3

Podemos "formalizar" la respuesta de Dave, utilizando Prueba indirecta :

1) $\lnot (Q \lor V) \equiv (\lnot Q \land \lnot V)$ --- asumido [1] y utilizando (DM)

2) $\lnot Q$ --- de 1) por (Simp)

3) $R \rightarrow S$ --- de la premisa 1. y 2) por (DS)

4) $(R \land R) \rightarrow S$ --- de 3) por (Taut)

5) $R→(R→S)$ --- de 4) por (Exp)

6) $T \lor U$ --- de las premisas 2. y 5) por (MP)

7) $Q \lor V$ --- de 6) y la premisa 3. por (CD)

pero 7) contradice a 1); por tanto, tenemos :

9) $Q \lor V$ --- por Prueba indirecta , descargando [1].

Conclusión :

$Q∨(R→S), [R→(R→S)]→(T∨U), (T→Q)∧(U→V) \vdash Q \lor V$ .