Una pregunta sobre las palabras Dyck generalizadas

Question

Estoy interesado en contar lo siguiente. ¿Cuántas palabras utilizando $n-1$ copias de $u$ y ${n \choose 2} - n+1$ copias de $d$ comenzar con $uu$ y, en general, el $k^{th}$ $u$ está entre los primeros ${k \choose 2} + 1$ ¿Las letras de la palabra?

Se trata de una generalización de la trayectoria de Dyck. Necesito empezar en el origen, terminar en $(n-1,2(n-1)-{n \choose 2})$ y siempre por encima de la curva correspondiente.

Estoy buscando una referencia o un argumento que dé una fórmula análoga a los números catalanes. Puedo escribir la respuesta como una suma desordenada.

Gracias.

Answer 1

(Después de editar la pregunta original). Esto es simplemente http://oeis.org/A107877 . Sus palabras están en correspondencia con las mencionadas en un comentario de David Scambler. Para pasar de tus palabras a las suyas, tienes que añadir $d$ después de cada $u$ y, a continuación, sustituir $k$ th $u$ por $k$ consecutivos $u$ 's.