Desigualdad sobre el momento exponencial de una variable aleatoria acotada

Question

Sea $X$ una variable aleatoria con $\mathbb{E}X=0$, $-1 \le X \le 1$, $\text{Var} (X)=\sigma ^2$.

He estado tratando de demostrar la desigualdad de Bernstein, y tengo que mostrar lo siguiente, pero no sé cómo tratar esos $\sigma ^2$ en el RHS.

$$\mathbb{E}(e^X)\le \frac{1}{1+\sigma ^2} e^{-\sigma ^2}+\frac{\sigma ^2}{1+\sigma ^2} e$$

Ojalá pudiera obtener algo de ayuda.

Answer 1

Definamos $$ F(x) = e^x-Ax^2-Bx. $$ donde $$ A=\frac{e-(\sigma^2+2)e^{-\sigma^2}}{(1+\sigma^2)^2}, $$ y $$ B=\frac{2\sigma^2e-(\sigma^4+2\sigma^2-1)e^{-\sigma^2}}{(1+\sigma^2)^2}. $$ Las constantes $A,B$ se eligen de manera que $$ F(-\sigma^2) = F(1), \quad F'(-\sigma^2)=0, \quad F''(-\sigma^2)<0. $$ Dado que $x\mapsto e^x$ es convexo y $F''(-\sigma^2)<0$, la ecuación $F'(x) = e^x -2Ax-B=0$ tiene solamente $2$ raíces $x=-\sigma^2$ y $x=x_0>-\sigma^2$. Ya que $$F'(x)\begin{cases}>0,\quad x\in(-\infty,-\sigma^2)\\<0,\quad x\in (-\sigma^2,x_0)\\>0,\quad x\in (x_0,\infty)\end{cases},$$ se sigue que $$ F(x) \le F(-\sigma^2)=F(1)\quad\forall x\in [-1,1]. $$ Por lo tanto, al tomar la esperanza de $F(X)$, obtenemos $$ E[e^X-AX^2-BX]=E[e^X]-A\sigma^2 \le F(1), $$ o equivalentemente $$ E[e^X]\le A\sigma^2 +F(1)= A(\sigma^2-1)-B+e. $$ Después de ciertos cálculos, obtenemos $$ A(\sigma^2-1)-B+e=\frac{e^{-\sigma^2}}{1+\sigma^2}+\frac{\sigma^2 e}{1+\sigma^2} $$ y se sigue la desigualdad.