¿Por qué $\oint\mathbf{E}\cdot{d}\boldsymbol\ell=0$ implica $\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}$ ?

Question

Estoy mirando el libro de texto de Electrodinámica de Griffith y en la página 76 está discutiendo el rizo del campo eléctrico en la electrostática. Afirma que como $$\oint_C\mathbf{E}\cdot{d}\boldsymbol\ell=0$$ entonces $$\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}$$ No sigo esta lógica. Aunque sé que el rizo de $\mathbf{E}$ en la estática es $\mathbf{0}$ No veo cómo se puede aplicar simplemente el teorema de Stokes para equiparar las dos afirmaciones.

Si tomamos el teorema original de Stokes, tenemos $\oint\mathbf{E}\cdot{d}\boldsymbol\ell=\int\nabla\times\mathbf{E}\cdot{d}\mathbf{a}=0$ . ¿Cómo implica esto $\nabla\times\mathbf{E}=\mathbf{0}$ ? Griffiths parece dar a entender que este paso es bastante fácil, ¡pero yo no lo veo!

Answer 1

Supongamos que $\nabla \times {\bf E}$ es una función que se comporta bien y $\nabla \times {\bf E}\neq 0$ en alguna región. Entonces podrías encontrar una superficie $S$ a través de la cual $\int_S \nabla \times {\bf E} \cdot d{\bf a}\neq0$ haciendo que esa superficie sea muy pequeña y cercana a la mencionada región.

Esto contradice el teorema de Stokes, por lo que debe ser que $\nabla \times {\bf E}=0$ en todas partes.

Answer 2

$$\oint_C\mathbf{E}\cdot{d}\boldsymbol\ell=0$$ Por el teorema de Stokes tridimensional aplicado a las superficies y sus límites, $$\iint_S\left(\nabla\times\mathbf E\right)\cdot \hat{\mathbf{n}}\mbox{ d}S=0$$ Para que esto sea siempre así, $$\left(\nabla\times\mathbf{E}\right)\cdot \hat{\mathbf{n}}=0$$ Para que el rizo de este campo vectorial sea ortogonal al vector normal, el rizo debe ser 0 (considere el desplazamiento de su sistema de coordenadas para que sea tal que $\hat{\mathbf{n}}$ puntos en el $z$ -dirección si quieres que esto sea más claro) y así, $$\nabla\times\mathbf{E}=0$$ Según se requiera./Q.E.D..

Answer 3

Puedes demostrarlo por contradicción. Digamos que $$\oint_C\mathbf{E}\cdot{d}\boldsymbol\ell=0$$ en todas partes y también que existe algún punto tal que $$ \nabla \times \mathbf{E} \neq 0.$$ Dado que el campo eléctrico es continuo (una discontinuidad del campo eléctrico corresponde a una densidad de carga infinita por la Ley de Gauss), se deduce que el rizo del campo eléctrico también debe ser distinto de cero en alguna vecindad de ese punto, con el mismo signo cuando se puntea en un vector unitario arbitrario. Entonces podemos integrar sobre esta vecindad para obtener un valor no nulo de $$\oint_C\mathbf{E}\cdot{d}\boldsymbol\ell$$ que es una contradicción.

Answer 4

El rizo se define como el límite de una integral de línea alrededor de la frontera de un área orientada cuando el área tiende a cero:

$$ (\nabla\times\mathbf{E})\cdot\mathbf{\hat{n}}=\;^{lim}_{A\rightarrow0}\left(\frac{1}{|A|}\oint_c\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}\right) $$

Si esta integral de línea infinitesimal tiende a cero en un punto, entonces también debe hacerlo el rizo del campo allí.

Answer 5

El área infinitesimal $d\mathbf{a}$ es arbitraria, lo que significa que $\nabla\times\mathbf{E}=0$ debe ser cierto en todas partes, y no sólo a nivel local.