Para los fijos $\epsilon$ y una dimensión arbitraria $n$ , $\|\mathbf{h}\|^2$ es radialmente simétrica con respecto al origen, si suponemos que su norma es un $l^p$ -normas:
$$\|\mathbf{h}\| = \left(\sum_{i=1}^n h_i^p\right)^{1/p}, \quad \text{where }p>0.$$
Denote su dominio de integración (una bola en $p$ -norma ) por $$B(0;\epsilon) = \{\mathbf{h}:\|\mathbf{h}\|< \epsilon \}.$$
Utilizando la transformación de integración a las coordenadas esféricas: $$ \int_{ B(0;\epsilon)}f\,dx = \int_0^{\epsilon}\left\{\int_{\partial B(0;r)} f\,dS\right\}\,dr,\tag{1} $$ donde $f = 1/\|\mathbf{h}\|^2 = 1/r^2$ en el $(n-1)$ -esfera $\partial B(0;r)$ por lo que (1) es $$ \int_0^{\epsilon}\frac{1}{r^2}\left\{\int_{\partial B(0;r)} 1\,dS\right\}\,dr = \int_0^{\epsilon}\frac{1}{r^2} \mathrm{meas}\{\partial B(0;r)\}\,dr. $$ La superficie de $\partial B(0;r)$ es $\omega(n,p) r^{n-1}$ donde $\omega(n,p)$ es una constante, que es la superficie del $l^p$ -y está relacionada con la dimensión $n$ y $p$ . Ahora lo anterior se convierte en $$ \omega(n,p)\int_0^{\epsilon}\frac{1}{r^2} r^{n-1} \,dr=\omega(n,p)\int_0^{\epsilon}r^{n-3}\,dr. $$ Esta integral diverge para $n=1,2$ . Para $n\geq 3$ converge claramente.
Si se trata de una referencia, (1) puede derivarse de la fórmula del coárea. Para la superficie del $l^p$ -esfera de la unidad, la fórmula se puede derivar de la volumen de $l^p$ -bolas unitarias siguiendo la relación recursiva del primer enlace.
