Grupos de Ramificación Superiores para $\mathbb{Q}(\sqrt{d})|\mathbb{Q}$. Forma inteligente de calcular

Question

Se me pide calcular el grupo de ramificación superior para extensiones cuadráticas $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d})|\mathbb{Q}$. Se definen de la siguiente manera, para un ideal primo $\mathfrak{p}$, $$G_{\mathfrak{p}}^{(i)}:=\{\sigma \in Gal(\mathbb{Q}(\sqrt{d})|\mathbb{Q})\mid \forall \alpha \in \mathcal{O}_K, \sigma(\alpha)=\alpha \pmod{\mathfrak{p}^{i+1}}\}$$

claramente para $i=0$ tenemos que el grupo de ramificación es el grupo de inercia. Por el hecho de que la extensión es claramente Galois, la definición del grupo de inercia depende solo del número primo contenido en el ideal primo.

Luego tenemos claramente que la cardinalidad del grupo de inercia en un primo es el índice de ramificación de dicho primo, y por lo tanto $$ p \nmid \delta_K \Leftrightarrow G_{\mathfrak{p}}^{(0)}\cong \{1\}$$ y por lo tanto todos los grupos de ramificación superiores son triviales.

¿Existe una manera inteligente de lidiar con el caso $p \mid \delta_K$? Más importante aún, ¿qué propiedades tienen los grupos de ramificación superiores para calcularlos en este caso fácil?

ADICIÓN Los cálculos brutos muestran que para $p$ impar y $d\neq 1 \pmod{4}$ $G_p^{(1)}$ es trivial. Creo que uno puede hacer otros casos también mediante cálculos brutos. ¿Existe una manera más inteligente?

Answer 1

Aquí te dejo un método que puedes usar para la ramificación superior en una extensión cuadrática ramificada. Si miras la definición de los grupos de ramificación, verás que todo se reduce a la distancia entre un elemento primo $\pi$ y su conjugado $\bar\pi$.

El cálculo es puramente local, lo que significa que puedes hacerlo sobre $\Bbb Q_p$ si lo prefieres, y se reduce a esto: toma un elemento primo $\pi$, entonces el número de ruptura único es $v_\pi(\bar\pi-\pi)-1$. No justificaré esa disminución en $1$, pero lo verás cuando sigas la definición estándar.

Veamos ejemplos: primero, $\Bbb Q(\sqrt d\,)$ en un $p$ impar que divide a $d$: aquí, localmente en $p$, $\sqrt d$ es un primo, y tomas $v_{\sqrt d}(2\sqrt d\,)=1$ y restas $1$ para obtener el resultado que mencioné en mi comentario, que la ruptura está en $0$, ya que tienes una ramificación mansa. Así que $G_0$ es todo el grupo, $G_1$ es trivial.

Todos los casos restantes son con $p=2$, primero para $d\equiv3\pmod4$. Luego, $\sqrt d-1=\pi$ es un buen primo, localmente en $2 recuerda, y su polinomio mínimo es $X^2+2X+1-d$, Eisenstein porque $d\equiv3$ módulo $4$. Ahora, $\bar\pi-\pi=-2-2\pi$, lo cual tiene un valor de $v_\pi$ de $2$, así que el número de ruptura es $1$.

Finalmente, para $d\equiv2$ módulo $4$, $\sqrt d=\pi$ es tu primo local, y $v_\pi(\bar\pi-\pi)=3$, así que el número de ruptura es $2$.

Tal vez debería agregar una nota ligeramente filosófica: lo que la teoría de la ramificación te dice es qué tan lejos están los varios conjugados de un elemento primo entre sí (sin importar si tu extensión es normal). En una extensión tame, todos los conjugados están igualmente lejos entre sí, como los $n$ vértices de un $(n-1)$-simplejo. En una extensión wild, pueden estar a diversas distancias entre sí. Considera las raíces primitivas $16$-avas de la unidad $\zeta$ y los elementos primos correspondientes $\pi=\zeta-1$. Hay en total ocho de ellos y si fijas uno, encontrarás otro que está moderadamente cerca de él; dos otros que están un poco más lejos, y los cuatro restantes están a una mayor distancia aún. Los números de ruptura te dicen exactamente cuáles son esas distancias.