¿Qué significa variable de segundo orden?

Question

¿Qué significa exactamente variable de segundo orden? Sé que la variable de primer orden (normalmente denotada por letras minúsculas como $p,q,r...$ ) son los que toman el valor $T$ (verdadero) o $F$ (falso). Veo que las variables de segundo orden se suelen denotar con letras mayúsculas (como $X,Y...$ ).

Al principio pensé que el segundo El orden se refiere a la aridad de la relación, como relación unaria (conjunto) o binaria (como la relación de aristas en los grafos). Pero cuando vi la definición de lógica monádica de segundo orden Me sorprendió saber que la variable de segundo orden puede ser unaria. Estoy demasiado confundido y realmente agradecería alguna ayuda para entender qué es exactamente una variable de segundo orden ¿Significa?

Answer 1

No exactamente.

Variables de primer orden, por lo general: $x,y,z,\ldots$ significa "objetos".

Variables de segundo orden, por lo general: $X,Y,Z,\ldots$ representan las "propiedades" de los objetos, como las relaciones.

Ejemplo: el (segundo orden) Axioma de inducción :

$\forall P \ [P(0) \land \forall k \ (P(k) \to P(k+1)) \to \forall n \ P(n)]$ .

En este caso, $k,n$ son variables de primer orden, que oscilan entre números los objetos del dominio, mientras que $P$ es una variable de segundo orden (y unaria), que va sobre propiedades de los números.

Ver Lógica de segundo orden y de orden superior .

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El pedir de una propiedad (o predicado) es su "nivel" en la jerarquía de los objetos-propiedades de los objetos-propiedades de los objetos, etc.

No es el arity de un símbolo de predicado.

El arity de un predicado o relación (en la lógica representada por predicado símbolos) es el número de lugares de su argumento.

A unario El predicado es, por ejemplo, "par": $\text {even}(x)$ .

A binario predicado es, por ejemplo, "menos que" : $<(x,y)$ , normalmente escrito (para facilitar la lectura): $x < y$ .

A ternario El predicado es, por ejemplo, "entre": $\text {between}(x,y,z)$ , lo que significa: $y \text { lies between } x \text { and } z$

El predicado unario $\text {even}(x)$ define también un conjunto, el conjunto de los números pares: $\{ n \mid \text {even}(n) \}$ .

Y el predicado binario $<$ define una relación (binaria), es decir, un conjunto de parejas: $\{ (n,m) \mid n < m \}$