Cohomología de grupo sobre anillo

Question

Para cualquier grupo $G$ y $G$ -módulo ( $\mathbb{Z}[G]$ -módulo) $M$ podemos definir una cohomología de grupo $H^{n}(G, M)$ como

$$ H^{n}(G, M):=\mathrm{Ext}_{\mathbb{Z}[G]}^{n}(\mathbb{Z}, M). $$ Sin embargo, creo que se puede sustituir $\mathbb{Z}$ con otros anillos $R$ , si $M$ es $R$ -módulo y $G$ actúa sobre ella (es decir $M$ es $R[G]$ -). Podemos definir $$ H^{n}_{R}(G, M):=\mathrm{Ext}_{R[G]}^{n}(R, M). $$ ¿Hay alguna referencia sobre este grupo de cohomología? En realidad, hay un ejercicio sobre cohomología de grupos de dimensión finita $\mathbb{F}_{p}$ -en el álgebra de Dummit-Foote (ejercicios 20 y 21 del capítulo 17.2). En este caso, parece que estamos calculando el grupo de cohomología cuando $R=\mathbb{F}_{p}$ no $\mathbb{Z}$ . Además, ¿este grupo es útil para la teoría de números? Gracias de antemano.

Answer 1

En realidad, para todo anillo (conmutativo) $R$ tenemos un isomorfismo de $\mathbb Z$ -módulos:

$\DeclareMathOperator{\Ext}{Ext} \Ext^n_{R[G]}(R, M) \cong \Ext^n_{\mathbb Z[G]}(\mathbb Z, M),$

véase https://stacks.math.columbia.edu/tag/0DVD (allí se habla de grupos topológicos, pero siempre se puede tomar la topología discreta).