Tengo una función en forma de:
$$\cos^{-1} \left(\dfrac{a^2+ bx^2}{2abx}\right) + \cos^{-1} \left(\dfrac {c^2 + dx^2}{2cdx}\right) = e$$
¿Cómo puedo resolver $x$ si todas las demás variables ( $a$ a través de $e$ ) son conocidos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Basándose en la sugerencia de Mike, se puede tomar el coseno de ambos lados y explotar el hecho de que $\cos{(x+y)}=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$ . Partiendo de su ecuación, hago las siguientes sustituciones: $$u=\dfrac{a^2+ bx^2}{2abx}, v=\dfrac {c^2 + dx^2}{2cdx}$$ para obtener la ecuación $$\cos^{-1}u+\cos^{-1}v=e$$ y tomar el coseno de ambos lados: $$\cos(\cos^{-1}u+\cos^{-1}v)=\cos{e}$$ que se puede simplificar en pasos. Primero, usamos la sugerencia de Mike para obtener $$\cos(\cos^{-1}u)\cos(\cos^{-1}v)-\sin(\cos^{-1}u)\sin(\cos^{-1}v)=\cos{e}$$ que se simplifica a $$uv-\sin(\cos^{-1}u)\sin(\cos^{-1}v)=\cos{e}$$ pero a partir de aquí no es obvio cómo proceder, así que tenemos que ponernos en plancha. La clave es que $\sin(\cos^{-1}a)=\sqrt{1-a^2}$ para cualquier $a$ por lo que nuestra ecuación se convierte en $$uv-\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2}=\cos{e}$$ que reordenamos como $$\sqrt{1-u^2}\sqrt{1-v^2}=uv-\cos{e}$$ y elevar al cuadrado ambos lados para obtener $$(1-u^2)(1-v^2)=(uv-\cos{e})^2$$ que es sólo un polinomio. Sustituyendo las expresiones de $u$ y $v$ en términos de $x$ y expandiéndolo se podrá encontrar la solución utilizando los métodos estándar para resolver ecuaciones polinómicas, aunque la ecuación tendrá grado $8$ por lo que necesitarás un ordenador o una buena calculadora para resolverlo. Ten cuidado de comprobar las soluciones que obtienes de esta manera, ya que a veces este método puede introducir soluciones "extrañas" que no resuelven realmente tu ecuación.
Editar : Olvidé mencionar que obtendrás una ecuación racional en lugar de una ecuación polinómica inmediatamente después de sustituir por $u$ y $v$ , por lo que tendrás que multiplicar por los denominadores para obtener una ecuación polinómica (que tendrá mayor grado, creo que 12). Ten cuidado con los casos en los que los denominadores son iguales a $0$ ya que parecerán soluciones, pero en realidad son puntos en los que un lado de la ecuación está indefinido.
