definir una métrica en $R$ ?

Question

Dejemos que $d(x,y) = (x-y)^2$ y $d(x,y) = \sqrt{|x-y|}$ . MI afirmación es que la primera no define una métrica sobre $\mathbb{R}$ desde $d(-1,1) = 4$ mientras que $d(-1,0) = d(0,1) = 1 $ y por lo tanto se viola la desigualdad del triángulo. Para la segunda, mi intuición me dice que sí es una métrica. Los primeros axiomas son obvios. Todavía tenemos que demostrar que la desigualdad del triángulo se mantiene. Pero, fíjate

$$ d(x,y)^2 = |x-y| \leq |x-z| + |z-y| $$

$$ \implies d(x,y) \leq \sqrt {|x-z| + |z-y|} \leq \sqrt{|x-z|} + \sqrt{|z-y|}$$

Todavía no estoy seguro de la última desigualdad. ¿Se mantiene? Creo que se deduce porque

$$ (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + \sqrt{xy} \geq x + y = (\sqrt{x+y})^2$$

¿es esto correcto? Se agradece cualquier comentario. Gracias

Answer 1

De hecho, para $x,y\geq0$ , has demostrado correctamente que $\sqrt x + \sqrt y \geq \sqrt{x+y}$ . $d$ es efectivamente una métrica. De hecho, la raíz cuadrada de cualquier métrica sigue siendo una métrica, como has demostrado.