simplificando la suma $\sum_{j<k} T_{jk}$ para la simetría $T$

Question

Supongamos que $T$ es simétrica, de manera que $T_{ab} = T_{ba}$ para todos sus índices $a,b \in \{ 1, \ldots, n \}$ . Si considero la suma: $$ \sum_{a<b} T_{ab} $$

¿Cómo puedo simplificar esto? I $think$ que esto debería ser igual a lo siguiente: $$ \sum_{a<b} T_{ab} = \sum_{b=1}^{n} \sum_{a=1}^{b-1} T_{ab} = \frac{1}{2} \sum_{a,b=1}^{n} T_{ab} - \frac{1}{2}\sum_{c=1}^{n} T_{cc} $$

Sin embargo, más allá de la palabrería, no sé cómo podría demostrarlo explícitamente. No me fío al 100%.

Answer 1

Dejemos que $T_{ij}$ sean entradas de una simétrica $n \times n$ -matriz $T$ y considerar la suma sobre todas las entradas. Algunos conjuntos entran naturalmente en juego: Sea $$ \unicode{0x25FA} :=\{ (i,j) \colon 1 \leq j < i \leq n\} \quad\text{ and } \quad \unicode{0x25F9} :=\{ (i,j) \colon 1 \leq i < j \leq n\} $$ denotan los conjuntos de todos los pares de índices estrictamente por debajo y estrictamente por encima de la diagonal y sea $$ \square := \{ (i,j) \colon 1\leq i,j \leq n\} $$ el conjunto de todos los índices. Entonces, se tiene $$ \sum_{(i,j) \in \,\square} T_{ij} =\sum_{(i,j) \in\, \unicode{0x25FA}} T_{ij} + \sum_{c = 1}^n T_{cc} + \sum_{(i,j) \in\, \unicode{0x25F9}} T_{ij} =\sum_{c = 1}^n T_{cc} + 2 \sum_{(i,j) \in\, \unicode{0x25FA}} T_{ij} , $$ donde la última igualdad se debe a la simetría de la matriz.

Ahora, reescribe más "formalmente" (en realidad, lo anterior ya es formal) $$\sum_{i,j=1}^n T_{ij} = \sum_{c = 1}^n T_{cc} + 2 \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^{i - 1} T_{ij}. $$

Esto le da $$\sum_{i = 1}^n\sum_{j = 1}^{i - 1} T_{ij} = \frac{1}{2} \left( \sum_{i,j = 1}^n T_{ij} - \sum_{c = 1}^n T_{cc}\right).$$

Tenga en cuenta que he utilizado la convención de que una suma vacía como $\sum_{i = 2}^1 x_i$ se evalúa a cero. Si no te gusta esta convención, la última igualdad debería ser $$\sum_{i = 2}^n\sum_{j = 1}^{i - 1} T_{ij} = \frac{1}{2} \left( \sum_{i,j = 1}^n T_{ij} - \sum_{c = 1}^n T_{cc}\right).$$