¿Cuál es la mejor aproximación conocida para el producto finito $1-1/p$ sobre los primos $\le x\ $ ?

Question

Sé que el producto

$$f(x)=\prod_{p\le x\ ,\ p\text{ prime}} 1-\frac{1}{p}$$

tiene el comportamiento asintótico $\ f(x)\approx \frac{e^{-\gamma}}{\ln(x)}\ $

Pero esta aproximación no es muy buena para pequeños $x$ Digamos que.., $\ x\le 10^6\ $

¿Cuál es la mejor aproximación conocida para $f(x)$ que ya es bueno para $x\ge 10^6$ ?

Dudo que una serie en $x=\infty$ se conoce, pero quizá se haya encontrado una fórmula empírica.

La función $\ g(x)=\frac{0.6115}{\ln(1.7x)}-\frac{0.6734}{x^2}+\frac{2.6978}{x^4}\ $ parece satisfacer $\ |f(x)-g(x)|\le 0.0021\ $ pour $\ x\ge67$

¿Tiene alguien idea de cómo se puede probar esto?

Answer 1

Tenemos la Estimaciones de Pierre Dusart $$\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right)<\frac{e^{-\gamma}}{\log\left(x\right)}\left(1+\frac{0.2}{\log^{2}\left(x\right)}\right),\, x>1 $$ y $$\frac{e^{-\gamma}}{\log\left(x\right)}\left(1-\frac{0.2}{\log^{2}\left(x\right)}\right)<\prod_{p\leq x}\left(1-\frac{1}{p}\right),\, x\geq2973.$$ No estoy completamente seguro, pero creo que esas son las aproximaciones más conocidas actualmente.