¿Cómo realizar una transformación de Fourier en coordenadas esféricas?

Question

Para una función $f(r, \vartheta , \varphi )$ dado en coordenadas esféricas, ¿cómo se puede calcular mejor la transformación de Fourier? Posibles ideas:

• expreso $(r, \vartheta , \varphi )$ en coordenadas cartesianas, dando un argumento no lineal de $f$
• expreso $\vec k, \vec r$ en el $e^{i \vec k \vec r}$ en coordenadas esféricas, dando un exponente no lineal en $\vartheta$ y $\varphi$
• descomponerse $f$ en Armónicos esféricos y luego cambiar de base al espacio de Fourier, requiriendo la transformación de Fourier de las Armónicas Esféricas ( ...obviamente no es posible calcularlos usando este mismo método... ¿puede ser encontrado en algún lugar?)

Answer 1

Tobias, tu notación hace que parezca que tu función $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ En otras palabras, toma puntos en el espacio tridimensional y escupe números reales. En ese caso, como se observa, se puede escribir como una función de $(x,y,z)$ . Así que no parece haber ninguna razón para no optar por tu primera opción. Tal vez podrías escribir la función para que pueda ver la dificultad. Si por el contrario tu función toma puntos de la esfera $\{(x,y,z):\, x^2+y^2+z^2=1\}$ entonces tiene sentido usar armónicos esféricos. Tu segunda opción no parece razonable: si quieres que la traslación se corresponda con los cambios de fase, entonces tienes que integrar a lo largo de las líneas en $\mathbb{R}^3$ Y luego, tras un cambio de coordenadas, volverías a estar en la primera situación.