inversa de la suma de la matriz diagonal y eigendecomposición

Question

Me gustaría simplificar el siguiente cálculo inverso :
$$(D + A)^{-1}$$ donde $A=U\Sigma U^T$ (descomposición de valores propios).
Y D es una matriz diagonal
Sé que la inversa de A es $A^{-1}=U\Sigma^{-1}U^T$ . ¿Cómo podría ampliar y simplificar el cálculo inverso?

Answer 1

Desde $D = \lambda I = \lambda U U^\top$ tenemos $$ (D+A)^{-1} = (U (\lambda I + \Sigma) U^\top)^{-1} = U (\lambda I + \Sigma)^{-1} U^\top. $$