Problema de Basilea ¿Suma mayor que la integral?

Question

Recientemente he estado jugando con el problema de Basilea y he notado un resultado extraño? Sé que he cometido algún error pero al calcular la integral de $\frac{1}{x^2}$ de 1 a infinito, el resultado es 1. Y es bien sabido que las sumas equivalen a $\frac{\pi^2}{6}$ que es mayor que 1.

¿Alguna explicación de por qué esto debería tener sentido?

Answer 1

Para que la suma de Riemann converja a la integral se necesita su $\Delta x$ para acercarse a cero.

Para su partición tiene $\Delta x=1$ que no se aproxima a cero.

Para un determinado $n,$ tenemos $$1/4+1/9+...+\frac {1}{n^2} <\int _1^n \frac {1}{x^2} dx < 1+1/4+...+\frac {1}{(n-1)^2}$$

Así que no hay problema si conseguimos $$\frac {\pi^2}{6} -1 <1< \frac {\pi^2}{6}$$

Answer 2

Creo que una foto ayudaría en este caso. Siéntase libre de editar y reemplazar con una imagen mejor. La integral es el área bajo la curva roja de $1$ à $\infty$ . La suma de Basilea es el área bajo los rectángulos con la parte superior azul. Debe quedar claro que la integral es menor que la suma, ya que $\dfrac1{x^2}$ es estrictamente decreciente para $x>0$ .