El orden de un elemento de un grupo $G$

Question

Ejercicio

Dejemos que $G$ sea un grupo cualquiera y $x=a^k$ , donde $a \in G$ es un elemento de orden $n$ y $k$ es un número natural. Encuentra el $ord(x)$ .

Mi candidato para $ord(a^k)$ es $\dfrac{n}{(n:k)}$ . Al elevar $a^k$ tenemos $$(a^k)^\frac{n}{(n:k)}=a^{k\frac{n}{(n:k)}}=(a^n)^{\frac{n}{(n:k)}}=1^{\frac{n}{(n:k)}}.$$

Por definición de $ord(a^k)$ tenemos $ord(a^k)|\dfrac{n}{(n:k)}$ Así que $ord(a^k)\leq\dfrac{n}{(n:k)}$

Me quedé atascado tratando de mostrar la otra desigualdad. Quizás el problema es que mi candidato no es el correcto.

Answer 1

Su candidato tiene razón. Deje que $p=ord(a^k)$ entonces $a^{kp}=e$ así que $n|kp$ y luego $\frac{n}{(n:k)}|\frac{k}{(n:k)}p$ y como $\frac{n}{(n:k)}$ y $\frac{k}{(n:k)}$ son coprimos por lo que por el lema de Euclides tenemos $\frac{n}{(n:k)}|p$ .